Looman-Menşov teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Looman-Menşov teoremi karmaşık düzlemdeki açık bir küme üzerinde tanımlı olan ve karmaşık değerler alan sürekli bir fonksiyonun holomorf olması için yeterli ve gerekli şartın bu fonksiyonun Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması olduğunu ifade eden bir sonuçtur. Teorem, süreklilikten daha güçlü bir varsayımla, fonksiyonun $\mathbb {R} ^{2}$den $\mathbb {R} ^{2}$ye Fréchet türevliliğini varsayan Goursat teoremini genelleştirmektedir.

Teorem, Hollandalı matematikçi Herman Looman ve Sovyet matematikçi Dmitri Menşov'un adını taşımaktadır.

Tarihçe

Goursat'nın 1900'de kanıtladığı sonuca göre bir fonksiyonun tanımlı olduğu her yerde karmaşık türeve sahip olması, Cauchy integral teoreminin kanıtını ve bu sayede Cauchy integral formülünü de verir. Böylece, fonksiyonun analitikliği elde edilir. Sonuç olarak, karmaşık değerler alan bir $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeki her $z_{0}$ noktasında

$f'(z_{0})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

limiti varsa, o zaman fonksiyon holomorftur. Bu teorem, Pompeiu tarafından türevin hemen hemen yer yerde olduğu ve

$\limsup _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

ifadesinin sınırlı olduğu varsayılarak genelleştirilmiştir. Montel, 1913'te $f$nin tanım kümesinde sınırlılığını, kısmi türevlerin varlığını ve $f_{x}+if_{y}=0$ olduğunu varsayarak fonksiyonun holomorf olduğunu ispâtsız sunsa da, buna benzer bir teoremin kanıtı Looman'a kadar beklemiştir. Looman, Montel'in ispatsız sunduğu teoremin ifadesindeki fonksiyonun sınırlılığı varsayımını süreklilik varsayımıyla değiştirerek bir ispat vermiştir. Looman'ın sunduğu ispattaki kalan bir açık, Menşov tarafından kapatılmıştır; ancak, Menşov da kanıt yayınlamamıştır. Teoremi Looman ve Menşov'a atfeden ve tam bir ispatını sunan Saks olmuştur.

Teoremin ifadesi

$\Omega \subset \mathbb {C}$ açık bir küme ve $f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ sürekli olsun. $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$ kismî türevleri $\Omega$'daki sayılabilir bir küme haricinde her yerde tanımlı olsun. O hâlde, $f$'nin holomorf olması için gerekli ve yeterli sonuç Cauchy–Riemann denklemlerini sağlamasıdır; yani,

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=0.$

Örnekler

Looman'ın da bahsettiği üzere, teoremdeki süreklilik varsayımı zayıflatılamaz. Gerçekten de, $$f(z)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{z^{4}}}}&z\neq 0,\\0&z=0\end{cases}}$$ fonksiyonu $z=0$ noktasında analitik değildir (sürekli de değildir) ama Cauchy-Riemann denklemlerini her yerde sağlar.

Diğer taraftan, $$f(z)={\begin{cases}{\frac {z^{5}}{|z|^{4}}}&z\neq 0,\\0&z=0\end{cases}}$$ fonksiyonu da her yerde süreklidir ve Cauchy-Riemann denklemlerini $z=0$ noktasında sağlar ama $z=0$ noktasında analitik değildir. Bu yüzden, teoremdeki kısmi türevlerin varlığının sadece bir noktada var olduğuna yönelik zayıflaştırmakla yine aynı sonuç elde edilemez.