Cauchy integral formülü

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin adıyla adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Teorem

U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve D = { z : | z - z₀| ≤ r} kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın. C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun. O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı

$f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz$

ifadesi doğru olur.

Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir. Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z₀) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorf fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar. Özellikle, f aslında

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.$

ile sonsuz kere türevlenebilirdir. Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir.

C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir. Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorf olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir.

Kanıt taslağı

Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir. f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir. Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki

$\oint _{C}{{1 \over z-a}\,dz}$

integrali 2πi 'ye eşittir. Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysa, $z=a+\varepsilon e^{it}$ alınarak parametrizasyon yoluyla (Değişken değiştirme) hesaplanabilir.

ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin

$\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{{f(z) \over z-a}\,dz}-f(a)\right|$

$\leq {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {|f(z)-f(a)|}{z-a}}\,dz\rightarrow 0.$

elde edilir.

Örnek

g(z) = z² / (z² + 2z + 2) fonksiyonunun mutlak değerinin yüzeyi ve yazıda açıklanan kontürlerle birlikte tekillikleri.

|z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve

$g(z)={z^{2} \over z^{2}+2z+2}$

ele alınsın.

g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir. $z_{1}=-1+i$ ve $z_{2}=-1-i$ ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir:

$g(z)={z^{2} \over (z-z_{1})(z-z_{2})}.$

Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar. Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z₁ ve z₂ etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu küçük kontürler z₁ ve z₂ için sırasıyla C₁ ve C₂ olsun.

C₁ etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin

$f(z)={z^{2} \over z-z_{2}}$

formunda yazılmasına olanak verir. Şimdi

$\oint _{C}{g(z)dz}=\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz=2\pi i*f(a)$

$\oint _{C_{1}}{\left({z^{2} \over z-z_{2}}\right) \over z-z_{1}}\,dz=2\pi i{z_{1}^{2} \over z_{1}-z_{2}}.$

olur. Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa

$f(z)={z^{2} \over z-z_{1}},$

$\oint _{C_{2}}{\left({z^{2} \over z-z_{1}}\right) \over z-z_{2}}\,dz=2\pi i{z_{2}^{2} \over z_{2}-z_{1}}.$

elde edilir.

O zaman C kontürü etrafındaki orijinal integral bu iki integralin toplamı olur:

${\begin{aligned}\oint _{C}{z^{2} \over z^{2}+2z+2}\,dz&{}=\oint _{C_{1}}{\left({z^{2} \over z-z_{2}}\right) \over z-z_{1}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\left({z^{2} \over z-z_{1}}\right) \over z-z_{2}}\,dz\\\\&{}=2\pi i\left({z_{1}^{2} \over z_{1}-z_{2}}+{z_{2}^{2} \over z_{2}-z_{1}}\right)\\\\&{}=2\pi i(-2)\\\\&{}=-4\pi i.\end{aligned}}$

Sonuçlar

İntegral formülünün geniş bir uygulama alanı vardır. Birincisi, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde holomorfsa, o zaman fonksiyon aynı yerde sonsuz kere türevlenebilirdir. Dahası, analitik bir fonksiyondur yani kuvvet serisi şeklinde temsil edilebilir. Bu ifadenin kanıtı

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz$

ifadesinde baskın yakınsaklık teoremini ve geometrik seriyi kullanır. Formül aynı zamanda meromorfik fonksiyonların bir sonucu olan kalıntı teoreminin ve ilişkin bir sonuç olan argüman ilkesinin kanıtında kullanılmaktadır. Morera teoremi sayesinde holomorf fonksiyonların düzgün limitinin de holomorf olduğu bilinmektedir. Bu sonuç Cauchy integral formülünden de çıkarılabilir: Formül limit içinde ve integrali alınan ifade için de geçerlidir ve bu yüzden integral kuvvet serisi olarak açılabilir. Ayrıca, daha yüksek mertebeden türevler için Cauchy formülü bu türevlerin hepsinin düzgün bir şekilde yakınsadığını gösterir.

Cauchy integral formülünün gerçel analizdeki analoğu harmonik fonksiyonlar için olan Poisson integral formülüdür. Bu bağlamda, holomorf fonksiyonların özelliklerinin çoğu taşınabilir. Ancak, daha genel türevlenebilir ve gerçel analitik fonksiyonlar sınıfı için artık bunun gibi sonuçlar geçerli değildir. Örneğin, gerçel bir fonksiyonun birinci türevi daha yüksek mertebeden türevlerin varlığını veya fonksiyonun analitikliğini göstermez. Benzer bir şekilde, bir (gerçel) türevlenebilir fonksiyonlar dizisinin düzgün limiti türevlenebilme özelliğine sahip olmayabilir veya türevlenebilir olur ama bu türev dizinin elemanlarının türevlerinin limiti olmayabilir.

Genelleştirmeler

Cauchy-Pompeiu formülü

Cauchy integral formülünün kanıtı Stoke teoremine dayandığı için, buradan yeteri kadar türevi alınabilen fonksiyonlar için de formülün bir hâli elde edilebilir. Teoremin bu sürümüne Cauchy-Pompeiu formülü adı verilir.

D, C 'de bir disk olsun ve f, D 'nin kapanışında bir sürekli bir şekilde türevlenebilir fonksiyon yani C¹ olan bir fonksiyon olsun. O zaman (Hörmander 1966, Teorem 1.2.1),

$f(\zeta ,{\bar {\zeta }})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z,{\bar {z}})dz}{z-\zeta }}+{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}$

olur.

Bu temsil formülü aynı zamanda D içinde, homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemlerini çözmek için de kullanılabilir. Aslında, φ, D içinde fonksiyonsa,

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}})$

denkleminin özel bir f çözümü

$f(\zeta ,{\bar {\zeta }})={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\phi (z,{\bar {z}}){\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}$

tarafından verilir.

Daha düzgün bir şekilde ifade edilecek olursa (Hörmander 1966, Teorem 1.2.2), μ, C üzerinde bir tıkız destekli, karmaşık ve sonlu ölçü ise, o zaman

$f(\zeta ,{\bar {\zeta }})=\iint {\frac {d\mu (z)}{z-\zeta }}$

μ'nün desteği dışında holomorf bir fonksiyon olur. Dahası, açık bir D kümesi üzerinde, bir φ ∈ C^k(D) (k≥1) için

$d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\phi dz\wedge d{\bar {z}}$

olursa, o zaman $f(\zeta ,{\bar {\zeta }})$ de C^k(D) 'nin içinde yer alır ve

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}})$

denklemini sağlar.

İlk sonuç, kısaca, Cauchy çekirdeği denilen

$k(z)={\frac {1}{z}}$

ile tıkız destekli ölçü μ'nün μ*k(z) girişimiyle holomorf bir fonksiyon olmasıdır. İkinci sonuç ise, Cauchy çekirdeğinin Cauchy-Riemann denklemlerinin temel bir çözümü olduğunu ifade eder.

Çok değişkenli karmaşık analizdeki genelleştirmeler

Ayrıca bakınız: Çok değişkenli karmaşık analiz § İntegral temsilleri

Yüksek boyutlarda, $n=1$ iken olduğu gibi geçerli olan, tek bir gösterim mevcut değildir. Ancak, yine de çok değişkenli karmaşık analizde, Cauchy integral formülü polidiskler üzerinde genelleştirilebilir .

D, n tane açık diskin yani D₁, ..., D_n 'nin kartezyen çarpımı olsun:

$D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.$

f, D 'de holomorf ve D 'nin kapanışında sürekli olsun. O zaman, z=(z₁,...,z_n) ∈ D olursa aşağıdaki formül elde edilir:

$f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\dots (\zeta _{n}-z_{n})}}d\zeta _{1}\dots d\zeta _{n}.$

Gerçekten de, fonksiyon her bir karmaşık değişkende (diğer koordinat değişkenleri sabit tutularak) her bir disk üzerinde bir değişkenli holomorf fonksiyon olarak görülebilir. O halde, Cauchy İntegral formülünü her bir koordinat değişkeni için ayrı ayrı uygularsak

${\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}$

Sonuç olarak,

$f(z_{1},\dots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}$

yazılabilir. Burada, $\partial D$'nin doğrultulabilir bir Jordan eğrisi olması ve $f$ fonksiyonunun sürekli olması kullanılmıştır.

Her ne kadar disk çarpımları üzerinde Cauchy integral formülü elde edilebilirse de, bu formülün kullanımı çok değişkenli karmaşık analizde güdük kalmaktadır. Bunun sebebi, integral alınan kümenin boyutunun çember çarpımı olarak $n$-boyutlu olmasıdır. Diğer deyişle, $2n$-gerçel boyutlu D kümesi üzerinde tanımlı fonksiyon, $n$-gerçel boyutlu simit üzerinde integral alınarak elde edilmiştir.

Kaynakça

• Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw Hill, 3. baskı, 1979, isbn=978-0070006577.
• Lars Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand, 1966.

Ayrıca bakınız

• Cauchy-Riemann denklemleri
• Kontür integrali metotları
• Nachbin teoremi
• Morera teoremi

Dış bağlantılar

• MathWorld'deki Cauchy İntegral Formülü bilgisi 1 Ağustos 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Cauchy Integral Formülü Modülü, John H. Mathews tarafından