Cauchy integral teoremi

Cauchy integral formülünün kullanımına örnek

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir. Teorem, Augustin Louis Cauchy'nin adını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi

Cauchy integral teoremi: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, U içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman :

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0

eşitliği vardır.

Édouard Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, U içinde her yerde f 'nin karmaşık türevi olan f '(z) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.

U 'nun basit bağlantılı olması koşulu kabaca U 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla anlatılacak olursa, U 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin, $U=\{z:|z-z_{0}|<r\}$ açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan

\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]

düşünüldüğünde,

\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i

yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, f(z) = 1/z fonksiyonu z = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve elbette holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.

Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası a, bitiş noktası b olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. F, f 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman

\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a)

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. U 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca U basit bağlantılı açık bir C altkümesi olsun. f, U üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve U 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.

Kanıt

Cauchy integral teoremi, Green teoremi ile kanıtlanabilir. Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız yetecektir. $\gamma$ kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve $\mathbb {C}$ kümesinin alt kümesi olsun. $f$ fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı bölgenin tümünde holomorf olsun. $z=x+iy$ ise, kompleks diferansiyeli $dz=dx+idy$ olur. Fonksiyonu da gerçel ve sanal kısımlarının toplamı şeklinde yazalım: $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ .

Bu durumda

$\oint _{\gamma }f(z)dz$ $=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+idy)=\oint _{\gamma }(udx-vdy)+i\oint _{\gamma }(vdx+udy)$ olacaktır.

Green teoremi kullanarak

\oint _{\gamma }(udx-vdy)=\iint \limits _{D}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dxdy

\oint _{\gamma }(vdx+udy)=\iint \limits _{D}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dxdy

yazılabilir.

Cauchy-Riemann denklemleriyle $\left({\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}{\text{ ve }}{\partial v \over \partial x}=-{\partial u \over \partial y}\right)$ teorem kanıtlanacaktır.