Montel teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Montel teoremi holomorf fonksiyon aileleriyle ilgili bir teoremdir. İsmini Paul Montel adlı matematikçiden almıştır ve şunu ifade etmektedir:

Karmaşık sayılardan oluşan bir açık küme üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar ailesi ancak ve ancak bu aile yerel sınırlı ise normaldir.

Teorem, karmaşık analizin her boyutunda geçerlidir ancak dikkat edilmesi gereken normal ailenin her boyutta nasıl tanımlandığıdır. Eğer sadece karmaşık düzlem üzerindeki sonuca bakılıyorsa teorem şu şekilde de ifade edilebilir: ${\mathcal {F}}$ karmaşık düzlemdeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, bu kümenin her noktasının civarında karmaşık türevlenebilir bir fonksiyon ailesiyse şu sonuçlar vardır:

1. ${\mathcal {F}}$ 'deki her dizinin tıkız altkümelerde düzgün yakınsayan bir altdizisi vardır.
2. D 'deki her x noktasının bir N komşuluğu ve bir B sınırı vardır öyle ki ${\mathcal {F}}$ 'deki bütün fonksiyonlar N üzerine sınırlandığında bu fonksiyonların karmaşık normu en fazla B olabilir.

Her normal ailenin yerel olarak sınırlı olacağı sonucu kolaylıkla elde edilebilir: Eğer ${\mathcal {F}}$, x noktasında yerel sınırlı değilse, o zaman herhangi bir n tam sayısı için x 'ten 1/n uzaklığındaki her noktada normu en az n olan bir f_n fonksiyonu vardır. Her n için bulunan bu f_n ler bir fonksiyonlar dizisi olarak alınırsa, o zaman bu dizinin düzgün yakınsak olan bir alt dizisi olamaz. Teoremin aslında güçlü olan yanı diğer önermesidir ve şu şekilde de anlatılabilir: Karmaşık sayılardan oluşan açık bir D kümesi üzerinde tanımlı ve yerel sınırlı olan her holomorf fonksiyonlar dizisinin bir alt dizisi vardır öyle ki bu altdizi D üzerinde tanımlı holomorf bir fonksiyona tıkız olarak yakınsar.

Teoremin kanıtının ilk başta kullandığı araçlar Cauchy integral formülü ve eşsürekliliktir. Daha sonra Arzelà–Ascoli teoremi tekrar tekrar kullanılarak tıkız yakınsaklık elde edilir.

Bu teoremin bir diğer ismi de Stieltjes–Osgood teoremidir ve bu isim de Thomas Joannes Stieltjes ve William Fogg Osgood adlı matematikçilere atıfla verilmiştir.

Ayrıca bakınız

• Montel uzayı

Kaynakça

• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I (İngilizce). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3. 
• Schiff, J. L. (1993). Normal Families (İngilizce). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0. 

Bu makale PlanetMath'deki Montel's theorem maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.