Reinhardt bölgesi

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Reinhardt bölgesi, sabit bir merkeze göre alınan çemberlerin birinin kümenin elemanlarından birini içerdiğinde bu çemberin hepsini birden içeren özel bölgelerdir. Bu kümelere bu yüzden çemberli bölgeler de denilir. Bu bölge, adını Alman matematikçi Karl Reinhardt'tan almaktadır.

Tanımı

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ bir bölge olsun ve sabit bir $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ merkezi olsun. Her $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \Omega$ ve her $\vartheta _{1},\vartheta _{2},\dots ,\vartheta _{n}\in \mathbb {R}$ için $\left(e^{i\vartheta _{1}}(z_{1}-a_{1}),e^{i\vartheta _{2}}(z_{2}-a_{2}),\dots ,e^{i\vartheta _{n}}(z_{n}-a_{n})\right)\in \Omega$ özelliği sağlanıyorsa, $\Omega$'ya $a$ merkezli Reinhardt bölgesi adı verilir.

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$, $a$ merkezli bir Reinhardt bölgesi olsun. Eğer $\Omega$, $a$ merkezli çemberleri içerdiğinde bu çemberleri topolojik sınır olarak kabul eden disklerin çarpımını da içeriyorsa $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$'ya tam Reinhardt bölgesi adı verilir. Diğer deyişle, her $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \Omega$ için $\left\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|w_{j}-a_{j}\right|<\left|z_{j}-a_{j}\right|,j=1,\cdots ,n\right\}\subset \Omega$ özelliği sağlanıyorsa, o zaman $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$'ya tam Reinhardt bölgesi adı verilir.

Örnekler

• $n$-boyutlu ve $(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})$ vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|z_{j}\right|<\rho _{j}\;(j=1,2,\dots n)\right\}$
• $n$-boyutlu, $0=(0,0,\dots ,0)\in \mathbb {C} ^{n}$ merkezli ve $\rho >0$ yarıçaplı yuvar $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\dots +\left|z_{n}\right|^{2}<\rho ^{2}\right\}$
• $n=1$ iken, tam Reinhardt bölgeleri karmaşık düzlemin kendisi, diskler veya halkalardır.

Logaritmik dışbükeylik

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ bir Reinhardt bölgesi olsun ve $\Omega ^{*}=\{z=(z_{1},\cdots ,z_{n})\in \Omega |z_{1}\cdots z_{n}\neq 0\}$ tanımlansın.

$\lambda :z\rightarrow \lambda (z)=(\ln(|z_{1}|),\cdots ,\ln(|z_{n}|))$ gönderimi altında

$\lambda (\Omega ^{*})$, $\mathbb {R} ^{n}$nin dışbükey bir altkümesi oluyorsa, $\Omega$'ya logaritmik dışbükey denir.

Yakınsaklık bölgesi

Bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da disk çarpımı (polidisk) veya karmaşık koordinat uzayının tamamı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, bir Reinhardt bölgesinin bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olması için gerekli ve yeterli özellik bu Reinhardt bölgesinin logaritmik dışbükey olmasıdır. Bu yüzden, Reinhardt bölgeleri, kuvvet veya Laurent serilerinin doğal tanım bölgeleridir denilebilir.

Thullen sınıflandırması

Peter Thullen'in 1931 yılındaki çalışması ile $\mathbb {C} ^{2}$deki sınırlı Reinhardt bölgeleri sınıflandırılmıştır. Daha açık bir ifade ile yazmak gerekirse, $\Omega \subset \mathbb {C} ^{2}$ sınırlı bir Reinhardt bölgesi ve $0\in \Omega$ olsun. O zaman, $\Omega$ aşağıdaki bölgelerden birine biholomorftur.

1. $\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}$ (polidisk);
2. $\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}$ (birim yuvar);
3. $\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)$ (Thullen bölgesi~Kompleks elipsoit).
4. Otomorfi grubuna göre orijinin yörüngesinin yine orijin olduğu bölgeler. Diğer deyişle, $Aut(D)$ otomorfi grubuysa ve $G(D)$ de bu grubun birim elemanını içeren bağlantılı bileşense, o zaman $G(D)\cdot 0=0$ olan bölgeler.

Thullen, ayrıca, $D_{1}$ ve $D_{2}$ ile gösterilen sınırlı Reinhardt bölgelerinin birbirine holomorf olarak denk olmalarının ancak ve ancak

${\begin{cases}z\mapsto r_{1}z\\w\mapsto r_{2}w\end{cases}}\quad {\text{ veya }}\quad {\begin{cases}z\mapsto r_{3}w\\w\mapsto r_{4}z\end{cases}}\quad (r_{i}>0,i=1,2,3,4)$

şeklinde tanımlı ve $D_{1}=\phi (D_{2})$ özelliğini sağlayan bir $\phi$ gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır. Toshikazu Sunada, 1978'de, Thullen'in sonuçlarının bir genellemesini kanıtlamıştır. Yani, $n$-boyutlu uzayda sınırlı iki Reinhardt bölgesinin ($G_{1}$ ve $G_{2}$ olsunlar) birbirine biholomorf denk olmalarının ancak ve ancak bu bölgelerin arasında $z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)$ şeklinde tanımlı ve $G_{1}=\varphi (G_{2})$ özelliğini sağlayan bir $\varphi :\mathbf {C} ^{n}\longrightarrow \mathbf {C} ^{n}$ gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır.