Sıkıştırma teoremi

Sıkıştırma teoreminin çizimi.

Bir dizi, aynı limite sahip diğer iki yakınsayan dizi arasında yer aldığında, aradaki dizi de bu limite yakınsar.

Kalkülüste, sandviç teoremi, sandviç kuralı, polis teoremi olarak da bilinen sıkıştırma teoremi bir fonksiyonun limitiyle ilgili bir teoremdir . İtalya'da teorem, jandarma teoremi olarak da bilinir.

Sıkıştırma teoremi kalkülüs ve matematiksel analizde kullanılır. Tipik olarak, limitleri bilinen veya kolayca hesaplanan diğer iki fonksiyonla karşılaştırarak bir fonksiyonun limitini doğrulamak için kullanılır. İlk olarak matematikçiler Archimedes ve Eudoxus tarafından π'yi hesaplama çabasıyla geometrik olarak kullanıldı ve Carl Friedrich Gauss tarafından modern terimlerle formüle edildi.

Birçok dilde (örn. Fransızca, Almanca, İtalyanca, Macarca ve Rusça), sıkıştırma teoremi aynı zamanda iki polis (ve sarhoş) teoremi veya bunun bir varyasyonu olarak da bilinir. Hikâye şudur ki, iki polis aralarında sarhoş bir mahkûma eşlik ediyorsa ve her iki memur da bir hücreye giderse, o zaman (izlenen yol ve mahkûmun polisler arasında yalpalıyor olabileceği gerçeğinden bağımsız olarak) mahkûm da hücreye girmelidir.

Açıklama

Sıkıştırma teoremi resmi olarak aşağıdaki gibi belirtilmiştir.

I, limit noktası olarak a noktasına sahip olan bir aralık olsun. g, f, ve h; a noktasında zorunlu olmamak kaydıyla I aralığı üzerinde tanımlanan fonksiyonlar olsun. I aralığındaki a noktası hariç her x değeri için şunu var sayalım:

$\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.$

ve ayrıca varsayalım ki:

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

Öyleyse $\lim _{x\to a}f(x)=L.$

• ${\textstyle g}$ ve ${\textstyle h}$ fonksiyonlarının sırasıyla ${\textstyle f}$ fonksiyonunun alt ve üst sınırları olduğu söylenir.
• Burada, ${\textstyle a}$ noktasının ${\textstyle I}$ aralığının iç kısmında bulunması gerekli değildir. Aslında eğer ${\textstyle a}$ noktası ${\textstyle I}$ aralığının bir uç noktasıysa bu durumda yukarıdaki limitler sol veya sağdan yaklaşan limitlerdir.
• Benzer bir ifade sonsuz aralıklar için geçerlidir: örneğin, eğer ${\textstyle I=(0,\infty )}$ ise limit ${\textstyle x\rightarrow \infty }$ şeklinde alınabilir.

Bu teorem diziler için de geçerlidir. $(a_{n}),(c_{n})$ $\ell$'ye yakınsayan bir dizi ve $(b_{n})$ de bir dizi olsun. Eğer $\forall n\geqslant N,N\in \mathbb {N}$ ise $a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$, olur, öyleyse $(b_{n})$ de $\ell$'ye yakınsar.

Örnek

x, 0'a giderken x² sin(1/x) sıkışmaktadır.

$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$

Bu limit, limit kanunuyla saptanamaz:

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)$

Çünkü

$\lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$

'in limiti yoktur.

Bununla birlikte sinüs fonksiyonunun tanımıyla

$-1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1$

dir ve bunu da

$-x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}$

takip eder.

$\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$ olduğundan sıkıştırma teoremine göre $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ de 0 olmalıdır.