Fonksiyonun limiti

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0,841471...
0,1	0,998334...
0,01	0,999983...

Her ne kadar (sin x)/x fonksiyonu sıfırda tanımlı olmazsa bile, x, sıfıra çok çok yakın olduğunda, (sin x)/x, 1'e yaklaşır. Diğer taraftan x sıfıra yaklaşırken (sin x)/x fonksiyonunun limiti 1'e eşittir.

Matematikte bir fonksiyonun limiti, kalkülüs ve analizde kullanılan bir temel kavramdır ve belirli bir girişe yaklaşan bir fonksiyonun davranışı ile ilgilidir.

Formal tanımı ilk olarak 19. yüzyıl başlarında ortaya çıktı ve şöyledir: Bir f fonksiyonunun her x girişi için bir f(x) çıkış olur. Bu fonksiyon p girişinde bir L limiti vardır ve şöyle ifade edilir: x, p ye çok çok yaklaştıkça, f(x) fonksiyonu da L ye çok çok yaklaşır.

Tanımlar

$\lim _{x\to p}f(x)=L,\,$

Yukarıdaki eşitliğin anlamı: "x, p ye yaklaşırken, ƒ(x) fonksiyonunun limiti L dir" denir.

Reel doğrudaki fonksiyonlar

f : R → R reel doğruda tanımlı ve p,L ∈ R ise, "x, p ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti, Ldir" denir ve şöyle sembolize edilir:

$\lim _{x\to p}f(x)=L,\$

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

• Her ε > 0 reel sayısı için bir δ > 0 reel sayısı vardır. Tüm x için, 0 < | x − p | < δ oluyorsa | f(x) − L | < ε olur.

p, f fonksiyonunun tanım kümesinde olsa bile limitin değeri, f(p) değerine bağlı değildir.

Tek taraflı limitler

Ana madde: Tek taraflı limit

x → x₀⁺ ≠ x → x₀⁻ olduğundan dolayı x → x₀ limit yoktur.

Alternatif olarak x, p ye üstten (sağdan) veya alttan (soldan) yaklaşabilir. Bu durumda limitler sırasıyla şöyle yazılır:

$\lim _{x\to p^{+}}f(x)=L$

ve

$\lim _{x\to p^{-}}f(x)=L$

Eğer her iki durumda da limitler L ye eşit ise, "f(x) in p noktasındaki limitleri L ye eşittir" denir. Benzer şekilde eğerher iki noktadaki limitte L ye eşit değilse, "limit yoktur" denir.

Formal tanımı şu şekildedir: x, p ye üstten yaklaşırken, f(x) in limiti L dir. Her ε > 0 için δ > 0 olur. 0 < x − p < δ olursa |f(x) − L| < ε olur. Benzer şekilde x, p ye alttan yaklaşırken, f(x) in limiti L dir. Her ε > 0 için, δ > 0 olur. 0 < p − x < δ olursa |f(x) − L| < ε olur.

Limitsiz fonksiyona örnek

Limitsiz fonksiyon

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x<1{\text{ için }}\\0&x=1{\text{ için }}\\{\frac {0.1}{x-1}}&x>1{\text{ için }}\end{cases}}$

fonksiyonu $x_{0}=1$ noktasında limiti yoktur. Bu yüzden fonksiyon süreksizdir.

Metrik uzayındaki fonksiyonlar

M ve N, sırasıyla A ve B metrik uzaylarının alt kümeleri olsun ve f : M → N, M ile N arasında tanımlansın, x ∈ M için p, M nin bir limit noktasıdır ve L ∈ N olur. "x, p ye yaklaşırken f nin limiti L dir" denir. ve şöyle yazılır:

$\lim _{x\to p}f(x)=L$

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

• Her ε > 0 için, bir δ > 0 vardır. 0 < d_A(x, p) < δ oluyorsa, d_B(f(x), L) < ε olur.

Topolojik uzaydaki fonksiyonlar

Y Hausdorff uzayı ve X topolojik uzay olsun. p, Ω ⊆ X de bir limit noktası ve L ∈Y olsun. f : Ω → Y fonksiyonu için "x, p ye yaklaşırken f nin limiti L dir" denir. (örn, x→p için, f(x)→L) ve şöyle yazılır:

$\lim _{x\to p}f(x)=L$

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

• Her L nin açık V komşusu için, p nin açık U komşusu vardır. f(U ∩ Ω − {p}) ⊆ V.

Özellikler

Eğer bir f fonksiyonu reel değerli ise, f nin p noktasında ancak ve ancak hem sağ limit hem de sol limit varsa ve L ye eşit ise, f nin p noktasındaki limiti L dir. f fonksiyonu, p noktasında sürekli ise ancak ve ancak x, p ye yaklaşırken f(x)in limiti vardır ve f(p) ye eşittir. Eğer f : M → N, M ve N metrik uzaylarında bir fonksiyon ise, M deki her dizi için f dönüşümlerine eşdeğerdir.

Eğer f reel değerli (veya karmaşık değerli) bir fonksiyon ise, limiti temel aritmetik işlemlerine göre alınır. Bu limit alma işlemi cebirsel limit teoremi olarak adlandırılır.

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}$

Yukarıdaki her bir eşitlikte sağdaki limit yoksa veya son eşitlikte, hem pay hem de paydanın limitler sıfırsa, soldaki limite yine de belirsiz form denir. Bu belirsizlik f ve g fonksiyonlarının durumuna bağlıdır. Bu kurallar tek taraflı limitlerde de geçerlidir. p = ±∞ ve sonsuz limitler için, aşağıdaki kurallar geçerlidir.

• q + ∞ = ∞ for q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ if q > 0
• q × ∞ = −∞ if q < 0
• q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

q / 0 durumu için genel kural olmadığına dikkat edin. Örneğin, 0/0, 0×∞, ∞−∞ ve ∞/∞ belirsiz formları bu kurallarda da geçerlidir.

Özel tanımlı fonksiyonların limiti

Matematikte limitin farklı durumlarda kullanımı vardır.Bu kullanımlar Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti olarak tanımlanır.

Bu özel tanımlı fonksiyonlar;

1. Parçalı Fonksiyonların Limiti
2. Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
3. Mutlak Değer Fonksiyonların Limiti

Bu fonksiyonların çözümü kendi içlerinde özel yöntemler barındırır.

Parçalı Fonksiyonların Limiti

Tanım kümesinin aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara Parçalı Fonksiyonlar denir.Bu fonksiyonların limiti şöyle hesaplanır;

durumunda,

$\lim _{x\to \ a+}{g(x)}$ =$\lim _{x\to a-}{h(x)}=L$

oluyorsa,

$\lim _{x\to \ a}{f(x)}=L$

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

1.sinx ve cosx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının sinüsü denir.

Sinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."sin" ile ifade edilir.

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının kosinüsü denir.

Kosinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."cos" ile ifade edilir.

$\lim _{x\to \ a}{sinx}=sina$

2. tanx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir.

Tanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için  π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları bütün gerçek sayılara götürür."tan" ile ifade edilir.

tanx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere;

koşuluna uyan bütün x gerçek sayıları için tanımlı olduğu için,

3. cotx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kotanjantı denir.

Kotanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları, bütün gerçek sayılara götürür."cot" ile ifade edilir.

cotx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere, x≠tπ koşuluna uyan bütün x sayıları için tanımlı olduğu için,

$\lim _{x\to a}\cot(x)=cot(a)$ (a≠t.π ve t ∈ ℤ)

olur.

t ∈ ℤ olmak üzere, a=t.π için,

$\lim _{x\to a}\cot(x)$ yoktur.

Mutlak Değer Fonksiyonların Limiti

ƒ fonksiyonu A'dan B'ye gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olsun. |ƒ| fonksiyonuna ƒ fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Mutlak değerin tanımına göre ƒ(x) in negatif olmadığı yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiği ile aynıdır. ƒ(x) in negatif olduğu yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.

ƒ fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon,

$\lim _{x\to a}{|f(x)|}$ olmak üzere,

mutlak değerin içini 0 yapan değer kritik noktadır. Yani ƒ(a)=0 kritik noktada limit sorulursa ƒ(x) fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerine bakılır.

Kritik nokta dışında limit sorulursa,

$\lim _{x\to a}{|f(x)|}$ = $|f(a)|$