Standart baz

Üç boyuttaki her a vektörü i, j ve k standart baz vektörlerinin lineer bir kombinasyonudur.

Matematikte, koordinat vektör uzayının ( $\mathbb {R} ^{n}$ veya $\mathbb {C} ^{n}$olarak gösterilir) standart tabanı ya da standart bazı (aynı zamanda doğal baz veya ilkesel baz olarak da geçer), 1'e eşit olan dışında tüm bileşenleri sıfır olan vektörlerden oluşan tabanıdır. Örneğin, gerçek sayı çiftleri (x, y) tarafından kurulan öklitçi $\mathbb {R} ^{2}$ düzlemi durumunda, standart baz vektörler tarafından oluşturulur.

$\mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).$

Benzer şekilde, $\mathbb {R} ^{3}$ üç boyutlu uzayının standart bazı da vektörler tarafından oluşturulmuştur.

$\mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).$

Burada e_x vektörü x yönünü gösterir, e_y vektörü y yönünü gösterir ve e_z vektörü z yönünü gösterir. Standart baz vektörleri için {e_x, e_y, e_z}, {e₁, e₂, e₃}, {i, j, k} ve {x, y, z} dahil olmak üzere birkaç ortak notasyon vardır. Bu vektörler birim vektör (standart birim vektör) olan statülerini vurgulamak için bazen bir şapka ile gösterilirler.

Bu vektörler, diğer herhangi bir vektörün, bunların lineer bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilmesi anlamında bir bazdır. Örneğin, üç boyutlu uzaydaki her v vektörü benzersiz olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

$v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},$

$v_{x}$, $v_{y}$, $v_{z}$ skalerleri, v vektörünün skaler bileşenleridir.

n-boyutlu $\mathbb {R} ^{n}$öklitçi uzayında, n belirgin vektörlerinin standart bazı oluşur

$\{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},$

e_i, i'inci koordinatta 1 ve diğer yerlerde 0 olan vektörü belirtir.

Standart bazlar tanımı polinomlar ve matrisler gibi katsayıları içeren diğer vektör uzayları için tanımlanabilir. Her iki durumda da, standart baz biri hariç tüm katsayılar 0 ve sıfır olmayan 1 olacak şekilde uzayın öğelerinden oluşur. Polinomlar için, standart baz böylece tek terimlilerden (monomiallerden) oluşur ve genel olarak tek terimli (monomial) baz olarak adlandırılır. ${\mathcal {M}}_{m\times n}$ matrisleri için, standart baz özellikle sıfır olmayan girişi 1 olan m×n-matrislerinden oluşur. Örneğin, 2×2 matrislerinin standart bazı 4 matristen oluşur.

$\mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Özellikleri

Tanıma göre, standart baz ortogonal (dik) birim vektörlerinin dizisidir. Diğer bir deyişle, sıralı ve ortonormal bazdır.

Ancak, sıralanmış bir ortonormal baz her zaman bir standart baz değildir. Örneğin iki boyutlu bir standart bazın 30 derecelik rotasyonunu temsil eden iki vektör, yani

$v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\,$

$v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\,$

vektörleri de ortogonal vektördür ancak kartezyen koordinat sisteminin eksenlerince hizalı değildir, yani bu vektörlerin bazı, standart bazın tanımına uymuyor.

Genellemeler

Bir alan üzerinde n belirsizdeki polinomların halkası için de standart bir temel vardır, yani monomlar.

Yukarıdakilerin tümü ailenin özel durumlarıdır.

${(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}$

$I$ herhangi bir set ve $\delta _{ij}$ Kroneckçi delta olduğu yerde, i ≠ j her zaman sıfıra eşittir ve eğer i = j ise 1'e eşittir. Bu aile, R modülünün (özgür modül) kanonik bazdır

$R^{(I)}$

bütün ailelerinin

$f=(f_{i})$

sonlu sayıda indeks dışında sıfır olan, eğer 1'i R'deki birim olan 1_R, olarak yorumlarsak, I'dan halka R'ye kanonik bazdır.

Diğer kullanımları

Diğer 'standart' bazların varlığı, Hodge'un 1943'te Grassmannianlar üzerine yaptığı çalışmalardan başlayarak lineer geometride bir ilgi konusuna dönüştü. Bu artık standart tek terimli teori adlı temsil teorisinin bir parçasıdır. Lie cebirinin evrensel saran cebirindeki standart baz fikri Poincaré–Birkhoff–Witt teoremi tarafından ileri sürülmüştür.

Gröbner bazları da ayrıca bazen standart baz olarak adlandırılır.

Fizikte, belirli bir öklit uzayı için standart baz vektörleri bazen kartezyen koordinat sisteminin eksenlerinin tersine karşılık gelen versörler olarak da atıfta bulunulur.

Ayrıca bakınız

• Kanonik birimler
• Vektör uzayı örnekleri § Genellenmiş koordinat uzayı

Kaynakça

• Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press. 2000. ISBN 0-521-27635-7.  (page 198)
• Eberly, David H. (2003). Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN 1-55860-594-0.  (page 112)