Stewart teoremi

Stewart teoremi

Stewart teoremi, geometride, bir üçgenin herhangi bir kenarını kesen doğru ile kesilen kenarın parçaları ve diğer kenarlar arasında kurulan bir bağıntıdır. Matematikçi Matthew Stewart'ın onuruna teorem onun adı ile yayınlanmıştır.

Stewart teoreminin kullanımı, şekildeki üçgene göre aşağıdaki gibidir.

$|AD|^{2}={\frac {c^{2}.n+b^{2}m}{m+n}}-m.n$

$\ (m+n)|AD|^{2}=c^{2}.n+b^{2}m-(m+n)mn$

İspatı

Bu teoremin ispatı bütünler açıları kullanarak kosinüs teoreminden bulunur. Aşağıdaki şekillerde ADB ve ADC bütünler açılardır. ADB açısına $\alpha$ dersek, ADC açısı $180-\alpha$ olur. Trigonometrik fonksiyonlardan biri olan kosinüsün özelliğinden de aşağıdaki durum ortaya çıkar;

$\ \cos({180-\alpha })=-\cos \alpha$

Bunun üzerine ADB ve ADC üçgenlerinde kosinüs teoremi uygularsak;

$\ |AD|^{2}+m^{2}-2|AD|m\cos \alpha =c^{2}$

$\ |AD|^{2}+n^{2}-2|AD|n\cos {180-\alpha }=b^{2}$

İkinci bağıntı trigonometrik fonksiyon özelliğinden dolayı aşağıdaki şekli alır;

$\ |AD|^{2}+n^{2}+2|AD|n\cos {\alpha }=b^{2}$

Üstteki bağıntı n, alttaki bağıntı m ile çarpılıp alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir;

$\ nc^{2}+mb^{2}=(m+n)|AD|^{2}+mn(m+n)$

Bağıntıda sağ taraf $(m+n)$ parantezine alınrısa:

$\ nc^{2}+mb^{2}=(m+n)(|AD|^{2}+mn)$

Gerekli düzenlemeler ile $(m+n)$ ve $mn$ sol tarafa geçirilirse;

$|AD|^{2}={\frac {c^{2}.n+b^{2}m}{m+n}}-m.n$

elde edilir.