Stolarsky ortalaması

Matematikte Stolarsky ortalaması, logaritmik ortalamanın bir genelleştirmesidir. 1975 yılında Kenneth B. Stolarsky tarafından ortaya atılmıştır.

Tanım

Stolarsky ortalaması şu şekilde tanımlanır: $x,y$ pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

${\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}x&x=y{\text{ ise,}}\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1/(p-1)}&x\neq y{\text{ ise.}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Tanımın elde edilmesi

Ortalama değer teoremine göre, herhangi bir (x, y) aralığında bir fonksiyonun türevinin kesen doğrunun eğimine eşit olmasını sağlayan bir $\xi$ değeri bulunur:

$\exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.$

Stolarsky ortalaması, $f(x)=x^{p}$ durumunda $\xi$'nin alacağı değer olarak tanımlanabilir:

$\xi =f'^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right).$

Özel durumlar

• $\lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)$ minimumdur.
• $S_{-1}(x,y)$ geometrik ortalamadır.
• $\lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)$ logaritmik ortalamadır.
• $S_{\frac {1}{2}}(x,y)$ $1/2$. dereceden genelleştirilmiş ortalamadır.
• $S_{2}(x,y)$ aritmetik ortalamadır.
• $S_{3}(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))$ karesel ortalama ve geometrik ortalama ile ilişkili bir niceliktir.
• $\lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)$ maksimumdur.

Tanımın genelleştirilmesi

Stolarsky ortalaması, bölünmüş farklar için ortalama değer teoremi göz önüne alınarak $n$. türev için $n+1$ değişkenli duruma genelleştirilebilir: $f(x)=x^{p}$ olmak üzere,

$S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]).$

Ayrıca bakınız

• Logaritmik ortalama
• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama
• Harmonik ortalama
• Genelleştirilmiş ortalama
• Karesel ortalama