Tek taraflı limit

Kalkülüste tek taraflı limit, x reel değişkenli bir f(x) fonksiyonun her iki limitidir. Burada x, ya üstten ya da alttan belirli bir noktaya yaklaşır. Bu limit şöyle sembolize edilebilir:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\$ veya $\lim _{x\downarrow a}\,f(x)$ veya $\lim _{x\searrow a}\,f(x)$ ya da $\lim _{x{\underset {>}{\to }}a}$

a yaklaşım değerinde x azalan limittir (x, a ya "sağdan" veya "üstten" yaklaşır) ve şöyle ifade edilir.

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\$ veya $\lim _{x\uparrow a}\,f(x)$ veya $\lim _{x\nearrow a}\,f(x)$ ya da $\lim _{x{\underset {<}{\to }}a}$

a yaklaşım değerinde x artan limittir (x, a ya "soldan" veya "alttan" yaklaşır)

x, a ya yaklaşırken eğer f(x) fonksiyonunun limiti, iki tek taraflı limite eşittir.

$\lim _{x\to a}f(x)\,$

Bazı durumlarda yukarıdaki limit yoktur. Fakat yine de iki tek taraflı limit vardır. Bu nedenle x, a ya yaklaşırken fonksiyonun limiti bazen "iki taraflı limit" olarak adlandırılır. Bazı durumlarda iki tek taraflı limit vardır, bazı durumlarda yoktur.

Sağ taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon )$

Benzer şekilde sol taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon )$

Burada $I$, $f$ tanım kümesi içindeki aralığı ifade eder.

Örnekler

Farklı tek taraflı limitlere sahip bir fonksiyona örnek aşağıda verilmiştir:

$\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,$

Oysa

$\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.$

Limitin topolojik tanımı ile ilişkisi

p noktasındaki tek taraflı limit, limitin genel tanımına karşılık gelir. Fonksiyonun tanım kümesi tek tarafta sınırlandırılır.

Abel teoremi

Ana madde: Abel teoremi

Bir önemli teorem, belirli kuvvet serisine sahip tek taraflı limitlerin kendi yakınsaklık mesafelerindeki davranışına Abel teoremi denir.

Ayrıca bakınız

• Reel izdüşümsel çizgi

Dış bağlantılar

• Tek taraflı limit, PlanetMath.org.