Wilson teoremi

Cebir ve sayılar teorisinde, Wilson teoremi şunu ifade eder: $n>1$ koşulunu sağlayan bir n tam sayısı, kendinden küçük tüm pozitif tam sayıların çarpımı, n sayısının katlarından bir eksiğine eşit ise n bir asal sayıdır. Bu ifadenin faktoriyel ve modüler aritmetik kullanılarak gösterimi aşağıdaki gibidir:

$(n-1)!\ \equiv \;-1{\pmod {n}}$

Yukarıdaki denklemi sağlayan her $n>1$ tam sayısı, bir asal sayıdır. Başka bir şekilde ifade edecek olursak, $n>1$ tam sayısı, ancak ve ancak (n − 1)! + 1 ifadesini kalansız bir şekilde bölüyorsa asal bir sayıdır, kalansız bölemiyorsa asal sayı değildir.

Örnek

Teoreme göre $n=5$ sayısı denklemi sağlamak zorundadır, çünkü 5 sayısı asal bir sayıdır ve $n>1$ koşulunu sağlar. 5 sayısından küçük bütün pozitif tam sayıları çarptığımızda $4.3.2.1=24$ sonucunu elde ederiz. 24 sayısı 5'in katlarından olan 25 sayısının bir eksiğidir yani denklemi sağlarız. Başka bir gösterimle $(5-1)!+1=25$ olur ve elde ettiğimiz bu sonuç 5 sayısına kalansız bölünür. Bu sayede 5 sayısının denklemi sağladığını görürüz.

Teoreme göre $n=4$ sayısı denklemi sağlamaz çünkü $n>1$ olmasına rağmen asal bir sayı değildir. Bu sayıdan küçük pozitif tam sayıları çarptığımızda $3.2.1=6$ elde ederiz, sonucumuzun bir eksiği olan 5 sayısı, n sayımıza kalansız bölünemez veya $(4-1)!+1=7$ sonucunda elde ettiğimiz sonuç $n$ sayımıza kalansız bölünmediği için denklemi sağlayamayız.

Teoremin tarihi

Teorem ilk olarak İbnü'l-Heysem tarafından y. ms 1000 yılında tarihinde ifade edilmiştir. 1770 yılında ise Edward Waring teoremi ispatlamadan duyurmuştur ve keşfi öğrencisi John Wilson'a atfetmiştir. 1771 yılında Joseph-Louis Lagrange tarafından kanıtlanmıştır.