Euler-Lagrange denklemi

Euler-Lagrange denklemleri, varyasyonlar hesabı ve klasik mekanikte, verilen bir eylem fonksiyonelinin durağan noktaları olan çözümlerinin oluşturduğu ikinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemler sistemidir. Bu denklemler, 1750'li yıllarda İsviçreli matematikçi Leonhard Euler ve İtalyan matematikçi Joseph-Louis Lagrange tarafından keşfedilmiştir.

Bir türevlenebilir fonksiyonel yerel ekstremum noktalarında durağan olduğundan, Euler-Lagrange denklemi, belirli bir fonksiyonelin minimize veya maksimize edilmesi gereken optimizasyon problemlerini çözmek için kullanışlıdır. Bu, kalkülüste bir türevlenebilir fonksiyonun yerel ekstremum noktasında türevinin sıfır olması gerektiğini belirten Fermat teoremi'ne benzer.

Lagrange mekaniğinde, Hamilton prensibine göre, bir fiziksel sistemin evrimi, sistemin eylem fonksiyoneli için Euler denklemlerinin çözümleri ile tanımlanır. Bu bağlamda, Euler denklemleri genellikle Lagrange denklemleri olarak adlandırılır. Klasik mekanikte, bu denklemler Newton'un hareket yasaları ile eşdeğerdir; aslında, Euler-Lagrange denklemleri Newton yasaları ile aynı denklemleri üretir. Bu özellikle kuvvet vektörlerinin oldukça karmaşık olduğu sistemleri analiz ederken yararlıdır. Bu yöntem, herhangi bir genelleştirilmiş koordinat sisteminde aynı formu alması avantajını taşır ve genelleştirmelere daha uygun bir yapıya sahiptir.

Klasik alan teorisinde, bir alanın dinamiklerini hesaplamak için benzer bir denklem kullanılır.

Tarihçe

Euler-Lagrange denklemi, aynı zamanlılık problemini araştırırken geliştirilmiştir.

Euler-Lagrange denklemi, 1750'li yıllarda Euler ve Lagrange tarafından eşzamanlı eğri (tautokron) problemi üzerine çalışmaları sırasında geliştirilmiştir. Bu problem, ağırlıklı bir parçacığın belirli bir noktaya sabit bir süre içinde, başlangıç noktasından bağımsız olarak düşeceği eğrinin belirlenmesi problemidir.

Lagrange, bu problemi 1755 yılında çözdü ve çözümü Euler'e gönderdi. Her iki matematikçi de Lagrange'ın yöntemini daha da geliştirdi ve bunu mekanik alanında uyguladı. Bu çalışmalar, Lagrange mekaniğinin formülasyonuna yol açtı. Aralarındaki yazışmalar, Euler'in 1766'da isimlendirdiği varyasyonlar hesabının ortaya çıkmasına neden oldu.

İfade

$(X,L)$ bir gerçel dinamik sistem olsun ve $n$ serbestlik derecesine sahip olsun. Burada $X$, konfigürasyon uzayı ve $L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))$ ise Lagrange fonksiyonudur, yani sürekli ve gerçel değerli fonksiyondur. Bu durumda, ${\boldsymbol {q}}(t)\in X$ ve ${\boldsymbol {v}}(t)$ ise $n$-boyutlu bir "hız vektörü"dür. (Diferansiyel geometriye aşina olanlar için, $X$ bir düzgün manifolddur ve $L:{\mathbb {R} }_{t}\times X\times TX\to {\mathbb {R} }$ fonksiyonudur, burada $TX$, $X$'in teğet demetidir).

${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ifadesi, ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ olan düzgün yolaklar kümesi olsun. O zaman, ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ ve ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}$ olur.

Eylem fonksiyoneli $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$, aşağıdaki şekilde tanımlanır:

$$S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t)),dt.$$

Bir yolak ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$, ancak ve ancak aşağıdaki durumda $S$'nin bir durağan noktasıdır:

$${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.$$

Burada ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$, ${\boldsymbol {q}}(t)$'nin zaman türevidir. Durağan nokta ifadesiyle, $S$'nin ${\boldsymbol {q}}$ üzerindeki küçük bir pertürbasyona karşı durağan olduğu anlamı kastedilir.

Örnek

Klasik bir örnek, [a, b] aralığında tanımlı, gerçel değerli y(x) fonksiyonunu bulmaktır. Bu fonksiyonun y(a) = c ve y(b) = d olması gerekmektedir. Bu durumda, y tarafından izlenen eğri boyunca olan yol yay uzunluğu en kısa olmalıdır.

${\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}},\mathrm {d} x,$

Buradaki tümlevlenen (integrand) fonksiyon şu şekildedir:

${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$

L fonksiyonunun kısmi türevleri:

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{ve}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0$

olur. Bu türevleri Euler-Lagrange denkleminde yerine koyarak

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{sabit}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}$

elde edilir.

Bu sonuç, fonksiyonun sabit bir birinci türeve sahip olması gerektiği anlamına gelir ve bu nedenle fonksiyonun grafiği bir doğrudur.

Genelleştirmeler

Tek değişkenli ve yüksek mertebeden türevli bir fonksiyon

Aşağıdaki fonksiyonelin durağan değerleri:

$I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}$

Euler–Lagrange denkleminden elde edilebilir:

${\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0$

Bu ifade, fonksiyonun kendisi ve ilk $k-1$ türevleri için sabit sınır koşulları altında geçerlidir. En yüksek mertebeden türev olan $f^{(k)}$ için uç değerler esnektir.

Tek değişkenli ve tek türevli birden fazla fonksiyon

Eğer problem, tek bir bağımsız değişken ($x$) ile birden fazla fonksiyonun ($f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$) bulunmasını içeriyorsa ve bu fonksiyonlar, aşağıdaki fonksiyonu eniyilemek amacıyla kullanılıyorsa:

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}$

Bu durumda, karşılık gelen Euler–Lagrange denklemleri şunlardır:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}$

Birden fazla değişkenli bir fonksiyon

Birden fazla değişkene bağlı bir fonksiyonun kullanıldığı durumda, $\Omega$ bir yüzey olmak üzere

$I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n}),\mathrm {d} \mathbf {x} ,\quad f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}$

Bu durumda fonksiyonel, aşağıdaki kısmi diferansiyel denklemi sağlayan fonksiyonlar tarafından ekstremize edilir:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.$

$n=2$ olduğunda ve fonksiyonel ${\mathcal {I}}$ enerji fonksiyoneli olduğunda, bu denklem sabun filmi minimum yüzey problemine yol açar.

Birden fazla değişkenli birden fazla fonksiyon

Eğer birden fazla bilinmeyen fonksiyon ve birden fazla değişken varsa

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n}),\mathrm {d} \mathbf {x} ,!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$

Bu durumda, Euler-Lagrange denklemleri sistemi şu şekildedir:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\ \vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}$

Bu denklem sistemi, her fonksiyonun ayrı ayrı varyasyonel türevini içerir ve çok değişkenli fonksiyonel integraller için temel çözümü sağlar.

İki değişkenli bir fonksiyon ve yüksek mertebeden türevler

Eğer belirlenmesi gereken tek bir bilinmeyen fonksiyon f, iki değişken x₁ ve x₂'ye bağlıysa ve fonksiyonel, f'in yüksek mertebeden türevlerine (n-inci türevine kadar) bağlıysa

${\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2}),\mathrm {d} \mathbf {x} \ &\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}};,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}};,;;\dots \end{aligned}}$

Bu durumda Euler-Lagrange denklemi şu şekildedir:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\ &-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}$

Bu denklemi daha kısa bir biçimde şu şekilde gösterebiliriz:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

Burada $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ indeksleri, değişken sayısını temsil eder; bu örnekte indeksler 1'den 2'ye kadar gider. Bu denklemde, aynı kısmi türevden (örneğin $f_{12}=f_{21}$) birden fazla kez saymamak için, indeksler yalnızca $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ koşulunu sağladığında toplanır.

Birden fazla değişkene bağlı birden fazla fonksiyon ve yüksek mertebeden türevler

Eğer belirlenmesi gereken p adet bilinmeyen fonksiyon f_i, m değişkenine (x₁, x₂, ..., x_m) bağlıysa ve fonksiyonel, bu fonksiyonların yüksek mertebeden türevlerine (n-inci türevine kadar) bağlıysa

${\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m}),\mathrm {d} \mathbf {x} \ &\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}};,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}};,;;\dots \end{aligned}}$

Burada $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ indeksleri, değişken sayısını temsil eder ve 1'den m'ye kadar gider. Bu durumda Euler-Lagrange denklemi şu şekildedir:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

Bu denklemde, aynı türevden ($f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$) birden fazla kez saymamak için indeksler yalnızca $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ koşulunu sağladığında toplanır.

Bu denklemi daha kısa bir biçimde şu şekilde gösterebiliriz:

$\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

Burada $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ indeksleri, değişken sayısını temsil eder; bu örnekte indeksler 1'den m'ye kadar gider. Bu denklemde, aynı kısmi türevden (örneğin $f_{12}=f_{21}$) birden fazla kez saymamak için, indeksler yalnızca $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ koşulunu sağladığında toplanır.

Alan teorileri

Ana madde: Lagrangian (field theory)

Manifoldlara genelleme

M bir düzgün manifold olsun ve C^\infty([a,b]) ifadesi, düzgün fonksiyonlar kümesini göstersin: :$f\colon [a,b]\to M$.

Bu durumda, S\colon C^\infty ([a,b])\to \mathbb{R} şeklindeki fonksiyoneller için: :$S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t),\mathrm {d} t$ burada L\colon TM\to\mathbb{R} Lagrangian'dır. İfade \mathrm{d} S_f=0 şeklindedir ve bu, tüm t\in [a,b] değerleri için şu ifadelere eşdeğerdir:

Her koordinat çerçeve trivializasyonu (x^i,X^i) için, \dot{f}(t)'nin bir komşuluğunda şu şekilde \dim M denklemleri elde edilir: :$\forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}{{\dot {f}}(t)}.$

Euler-Lagrange denklemleri, koordinat bağımsız bir biçimde de şu şekilde yazılabilir:

${\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL$

Burada \theta_L Lagrangian L'ye karşılık gelen kanonik momentum 1-formu'dur. Zaman çevirilerini üreten vektör alanı \Delta olarak gösterilir ve Lie türevi \mathcal{L} ile gösterilir.

Yerel grafikler kullanılarak: :$(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ ifadesinde: :$\theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }$ ve: :$\Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}$

Lie türevinin koordinat ifadelerini kullanarak, Euler-Lagrange denklemlerinin koordinat ifadeleri ile eşdeğerliğini görmek mümkündür. Koordinat bağımsız form, Euler-Lagrange denklemlerinin geometrik yorumları için özellikle uygundur.

Ayrıca bakınız

• Lagrange mekaniği
• Hamilton mekaniği
• Analitik mekanik
• Beltrami özdeşliği
• Fonksiyonel türev

Kaynakça

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Lagrange denklemleri (mekanik)", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Eric W. Weisstein, Euler-Lagrange Diferansiyel Denklemi (MathWorld)
• Bu makale PlanetMath'deki [[PlanetMath:{{{id}}}|Varyasyonlar Hesabı]] maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.
• Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Varyasyonlar Hesabı. Dover. ISBN 0-486-41448-5. 
• Roubicek, T.: Varyasyonlar Hesabı. Bölüm 17: Fizikçiler için Matematiksel Araçlar. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, 978-3-527-41188-7, s. 551–588.