Hacim integrali

Hacim integrali çok değişkenli kalkülüsteki çokkatlı integralin 3 boyutlu durumudur. Hacim integrali fizikte önemli bir yere sahiptir. Özellikle yoğunlukların hesabı için kullanılır.

Kartezyen koordinat sisteminde

Hacim integrali $D\subset R^{3}$ bölgesinde tanımlı $f(x,y,z)$ fonksiyonunun üç katlı integrali anlamına da gelir. Şu şekilde yazılır:

$\iiint \limits _{D}f(x,y,z)dxdydz$

Bu integral silindirik koordinat sisteminde şöyle yazılır:

$\iiint \limits _{D}f(p,\varphi ,z)pdpd\varphi dz$

Küresel koordinat sisteminde ise şöyle bir yazım mevcuttur:

$\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi$

Örnek

$f(x,y,z)=1$

$\iiint f(x,y,z).dx.dy.dz$=$\iiint 1.dx.dy.dz$=$\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{1}dz$=1

Fizikte

$m=\iiint \rho dV$

Burada $m$ kütle,$\rho$ kütle yoğunluğu (birimi=kg/m^3)

Aynı şekilde farklı büyüklüklerin yoğunluğu alınabilir.Örneğin,yük yoğunluğu gibi.