Rolle teoremi

Eğer gerçel-değerli bir $f$ fonksiyonu, $[a, b]$ kapalı aralığında sürekli, $(a, b)$ açık aralığında türevlenebilir ve $f (a) = f (b)$ ise, $(a, b)$ açık aralığında öyle bir $c$ vardır ki $f'(c) = 0$ olur.

Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle önsavı temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip gerçel değerli herhangi bir türevlenebilir fonksiyona bu iki noktanın aralarındaki noktalarda çizilen teğet doğrulardan eğiminin en az birinin sıfır olduğu. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır ve aynı zamanda kritik nokta olarak da bilinir. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.

Teoremin standart hâli

Eğer gerçel değerli bir $f$ fonksiyonu, $[a, b]$ kapalı aralığında sürekli, $(a, b)$ açık aralığında türevlenebilir ve $f (a) = f (b)$ ise, $(a, b)$ açık aralığında $f'(c)=0$ sağlayan bir $c$ vardır.

Rolle teoreminin bu hâli, ortalama değer teoremi'nin özel bir durumudur ve aynı zamanda ortalama değer teoremi kanıtlamak için kullanılır. Teorem, aynı zamanda Taylor teoreminin ispatı için de temel oluşturur.

Tarihçe

Teorem adını Michel Rolle'den alsa da, Rolle'ün 1691 tarihli ispatı yalnızca polinomları kapsıyordu. İspâtında, hayatının o döneminde yanlış olduğunu düşündüğü diferansiyel hesap yöntemlerini kullanmamıştır. Teorem ilk olarak 1823 yılında Cauchy tarafından ortalama değer teoreminin ispatının bir sonucu olarak ispatlanmıştır.^[1] Rolle teoremi adı ilk olarak 1834'te Alman Moritz Wilhelm Drobisch ve 1846'da İtalyan Giusto Bellavitis tarafından kullanılmıştır.^[2]

Örnekler

Birinci örnek

Bir $r > 0$ yarıçapı için

$f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r].$

fonksiyonu göz önüne alınısın. Bu fonksiyonun grafiği, orijin merkezli üst yarım çemberdir. Bu fonksiyon $[- r, r]$ kapalı aralığında süreklidir ve $(- r, r)$ açık aralığında türevlenebilir, ancak $- r$ ve $r$ uç noktalarında türevlenemez. $f (- r) = f (r)$ olduğundan, Rolle teoremi geçerlidir ve bu yüzden $f$ türevinin sıfır olduğu bir nokta vardır. Gerçekten de,

f'(x)=-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

olur ve $f'(0)=0$ sağlanır.

Teorem, fonksiyon uç noktalarda türevlenemediğinde bile geçerlidir çünkü sadece fonksiyonun açık aralıkta türevlenebilir olmasını gerektirir.

İkinci örnek

Eğer türevlenebilirlik aralığın bir iç noktasında yoksa, Rolle teoreminin sonucu geçerli olmayabilir.

$f(x)=|x|,\quad x\in [-1,1].$

mutlak değer fonksiyonu ele alınsın.

O zaman $f (-1) = f (1)$ , ancak -1 ile 1 arasında $f'(c)$ nin sıfır olduğu bir $c$ yoktur. Bunun nedeni, bu fonksiyonun sürekli olmasına rağmen $x = 0$ 'da türevlenebilir olmamasıdır. $f$ 'nin türevi $x = 0$ 'da işaret değiştirir, ancak 0 değerine ulaşmaz. Teorem bu fonksiyona uygulanamaz çünkü fonksiyonun açık aralıktaki her $x$ için türevlenebilir olması gerektiği koşulunu sağlamaz. Bununla birlikte, Rolle teoreminden türevlenebilirlik şartı çıkarıldığında, $f$ yine de $(a, b)$ açık aralığında bir kritik noktaya sahip olacaktır. Elbette, bu durumda fonksiyon ya açık aralıktaki her noktada türevli olacaktır ya da bu açık aralıktaki en az bir noktada türevli olmayacaktır. Her iki durumda da, bir noktada türevin sıfır olması ya da türevin tanımsız olmasıyla, kritik noktanın varlığı elde edilmiş olur.

Genelleştirme

İkinci örnek, Rolle teoreminin aşağıdaki genellemesini göstermektedir:

Kapalı bir $[a, b]$ aralığında $f (a) = f (b)$ olan gerçel değerli, sürekli bir $f$ fonksiyonu olsun. Bu durumda, $(a, b)$ açık aralığındaki her $x$ için sağdan limit, $f'(x^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ ve soldan limit, $f'(x^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ ise genişletilmiş reel sayılarda, yâni, $[-\infty, \infty]$ 'de değer alacaktır. O zaman, $(a, b)$ açık aralığında bir $c$ sayısı için $f'(c^{+})\quad {\text{ve}}\quad f'(c^{-})$ limitlerinden biri genişletilmiş gerçel sayılarda negatif olmazken $\geq 0$ diğeri pozitif olmayacaktır $\leq 0$ . Eğer sağdan ve soldan limitler her $x$ için birbirine eşitse, o zaman en azından bir $c$ noktasında birbirine eşittir. Dolayısıyla, $f$ 'nin $c$ 'de türevi vardır ve sıfıra eşittir.

Açıklamalar

Eğer $f$ dışbükey veya içbükey ise, o zaman sağ ve sol türevler her iç noktada mevcuttur, dolayısıyla yukarıdaki limitler mevcuttur ve gerçel sayılardır.
Teoremin bu genelleştirilmiş versiyonu, tek taraflı türevler monoton olarak artan olduğunda konveksliği kanıtlamak için yeterlidir:^[3] $f'(x^{-})\leq f'(x^{+})\leq f'(y^{-}),\quad x<y.$

Genelleştirilmiş versiyonun ispatı

Rolle teoreminin standart versiyonu ile genellemesinin ispatı çok benzer olduğundan, genellemeyi ispatlıyoruz.

İspatın ana fikri, eğer $f (a) = f (b)$ ise, $f$ $a$ ile $b$ arasında bir yerde, örneğin $c$ 'de bir maksimum veya bir minimum değerine ulaşmalı ve fonksiyon $c$ 'de artmaktan azalmaya (veya tam tersi) değişmelidir. Özellikle, eğer türev varsa, $c$ 'de sıfır olmalıdır.

Varsayım olarak, $f$ fonksiyonu, $[a, b]$ üzerinde süreklidir ve uç değer teoremi ile $[a, b]$ içinde hem maksimumuna hem de minimumuna ulaşır. Bunların her ikisi de $[a, b]$ 'nin uç noktalarında elde edilirse, $f$ fonksiyonu $[a, b]$ üzerinde sabittir ve bu nedenle $f$ 'nin türevi $(a, b)$ 'nin her noktasında sıfırdır.

Bu durumda maksimumun $(a, b)$ 'nin bir iç noktası olan $c$ 'de elde edildiğini varsayalım (minimum için argüman çok benzerdir, sadece $- f$ olarak düşünün). Yukarıdaki sağ ve sol limitleri ayrı ayrı inceleyeceğiz.

$c + h$ , $[a, b]$ içinde olacak şekilde, gerçel bir $h$ için $f (c + h)$ değeri $f (c)$ değerinden küçük veya ona eşittir, çünkü varsayım dolayısıyla fonksiyon $c$ 'de maksimuma ulaşır. Bu nedenle, her $h > 0$ için,

${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0$ ve dolayısıyla $f'(c^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0$ olur. Burada, limit varsayım gereği eksi sonsuz da olabilir.

Benzer şekilde, her $h < 0$ için eşitsizlik tersine döner çünkü payda artık negatiftir. Böylece, ${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0$ olur. Dolayısıyla, $f'(c^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0$ elde ederiz. Burada, limit yine varsayım gereği artı sonsuz da olabilir.

Son olarak, yukarıdaki sağ ve sol limitler aynı olduğunda (ve özellikle $f$ türevlenebilir olduğunda), $f$ 'nin $c$ 'deki türevi sıfır olmalıdır.

(Alternatif olarak, Fermat durağan nokta teoremini doğrudan uygulayabiliriz).

Daha yüksek mertebeli türevlere genelleme

Rolle teoremini, $f$ 'nin eşit değerlere ve daha büyük mertebeden türevlenebilirliğe sahip olduğu daha fazla noktaya sahip olmasını varsayacak şekilde de genelleştirebiliriz. Özellikle, varsayalım ki

$f$ fonksiyonu $[a, b]$ kapalı aralığına $(n - 1)$ kez sürekli türevlenebilir ve $(a, b)$ açık aralığında $n$ 'inci meretebeden türevi varsa
1'den $n$ 'e kadar her $k$ için $[a, b]$ içinde $f (a k) = f (b k)$ olacak şekilde $a 1 < b 1 \leq a 2 < b 2 \leq \dots \leq a n < b n$ tarafından verilen $n$ tane aralık varsa,

o zaman $(a, b)$ içinde $f$ 'nin $n$ 'inci türevinin sıfır olduğu bir $c$ noktası vardır.

$f$ 'nin $n$ 'inci türevine ilişkin gereklilikler, yukarıdaki genellemede olduğu gibi zayıflatılabilir ve $f$ yerine $f^{(n-1)}$ ile yukarıda tanımlanan sağ ve sol limitler için karşılık gelen (daha zayıf olabilen) ifadeleri verir.

Teoremin özellikle bu hâli, yeterince türevlenebilir bir fonksiyonun $n$ tane kökü varsa, $f^{(n-1)}$ 'in sıfır değeri aldığı bir iç nokta olduğunu ifade eder.

İspat

İspat, matematiksel tümevarım yöntemini kullanır. $n = 1$ durumu basitçe Rolle teoreminin standart versiyonudur. $n > 1$ için, tümevarım hipotezi olarak genellemenin $n - 1$ için doğru olduğunu kabul edelim. Bunu $n$ için kanıtlamak istiyoruz. $f$ fonksiyonunun teoremin hipotezlerini karşıladığını varsayalım. Rolle teoreminin standart versiyonuna göre, 1 ile $n$ arasındaki her $k$ tam sayısı için, $(a k, b k)$ açık aralığında $f'(c k) = 0$ olacak şekilde bir $c k$ vardır. Dolayısıyla, birinci türev, $n - 1$ adetteki kapalı $[c 1, c 2], \dots, [c n - 1, c n]$ aralıklarındaki varsayımları karşılar. Tümevarım hipotezine göre, $c$ vardır ki $f'$ 'nin $(n - 1)$ inci türevinin sıfır olduğu bir $c$ sayısı vardır.

Diğer sayı cisimlerine genellemeler

Rolle teoremi, bir sıralı cisim olan reel sayılar üzerinde türevlenebilir fonksiyonların bir özelliğidir. Bu nedenle, diğer cisimler için genelleştirilemez. Ancak teoremin aşağıdaki sonucu genelleştirilebilir: Gerçel katsayılı bir polinomun bütün kökleri gerçel sayı ise, o zaman da türevinin kökleri de gerçeldir. Bir cismin bu özelliğine, Rolle özelliği denebilir.^{[kaynak belirtilmeli]} Daha genel cisimler her zaman türevlenebilir fonksiyonlara sahip değildir, ancak her zaman sembolik olarak türevlenebilen polinomlara sahiptirler. Benzer şekilde, daha genel cisimler bir mertebeye sahip olmayabilir, ancak bir cisimde yer alan bir polinomun kökü kavramı vardır.

Rolle teoremi, bu yüzden, gerçel sayıların Rolle özelliğine sahip olduğunu gösterir. Karmaşık sayılar gibi cebirsel olarak kapalı herhangi bir cisim Rolle özelliğine sahiptir. Ancak, rasyonel sayılar Rolle özelliğine sahip değildir. Örneğin, $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ rasyonel sayılar üzerinde çarpanlara ayrılır, ancak türevi, $3x^{2}-1=3\left(x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)\left(x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),$ çarpanlara ayrılamaz. Hangi cisimlerin Rolle özelliğini karşıladığı sorusu Kaplansky 1972'de ortaya atılmıştır.^[4] Sonlu cisimler için cevap, sadece $F 2$ ve $F 4$ 'ün Rolle özelliğine sahip olduğudur.^[5]^[6]

Karmaşık bir versiyon için Voorhoeve indeksine bakınız.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Besenyei, A. (17 Eylül 2012). "Ortalama değer teoreminin kısa tarihi" (PDF). 6 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 1 Ekim 2024.
^ Bkz. Cajori, Florian (1999). A History of Mathematics. American Mathematical Soc. s. 224. ISBN 9780821821022.
^ Artin, Emil (1964) [1931], The Gamma Function, Butler, Michael tarafından çevrildi, Holt, Rinehart and Winston, ss. 3-4 .
^ Kaplansky, Irving (1972), Fields and Rings .^{[tam kaynak belirtilmeli]}
^ Craven, Thomas; Csordas, George (1977), "Multiplier sequences for fields", Illinois J. Math., 21 (4), ss. 801-817, doi:10.1215/ijm/1256048929 , 22 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi1 Ekim 2024 .
^ Ballantine, C.; Roberts, J. (January 2002), "A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 109 (1), ss. 72-74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770 .

Konuyla ilgili okumalar

Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry. 2nd. New York: Harper & Row. ss. 201-207. ISBN 0-06-043959-9.
Taylor, Angus E. (1955). Advanced Calculus. Boston: Ginn and Company. ss. 30-37.

Dış bağlantılar

Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Rolle theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Rolle's and Mean Value Theorems at cut-the-knot.
Mizar sistemi ispat: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

Wikimedia Commons'ta Rolle teoremi ile ilgili ortam dosyaları mevcuttur.

[1] Besenyei, A. (17 Eylül 2012). "Ortalama değer teoreminin kısa tarihi" (PDF). 6 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 1 Ekim 2024.

[2] Bkz. Cajori, Florian (1999). A History of Mathematics. American Mathematical Soc. s. 224. ISBN 9780821821022.

[3] Artin, Emil (1964) [1931], The Gamma Function, Butler, Michael tarafından çevrildi, Holt, Rinehart and Winston, ss. 3-4 .

[4] Kaplansky, Irving (1972), Fields and Rings .^{[tam kaynak belirtilmeli]}

[5] Craven, Thomas; Csordas, George (1977), "Multiplier sequences for fields", Illinois J. Math., 21 (4), ss. 801-817, doi:10.1215/ijm/1256048929 , 22 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi1 Ekim 2024 .

[6] Ballantine, C.; Roberts, J. (January 2002), "A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 109 (1), ss. 72-74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]