Riemann zeta işlevi

Karmaşık düzlemde Riemann zeta işlevi ζ(s). s noktasındaki renk ζ(s) değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir. s = 1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.

Matematikte Riemann zeta fonksiyonu (ya da; Euler-Riemann zeta fonksiyonu), Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan önemli bir fonksiyondur. Fonksiyon; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Riemann zeta fonksiyonu, farklı şekillerde de ifade edilse de en yaygın gösterimi;

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \;\;\;\;\;\;\;\!$

şeklindedir. Buradaki "s" karmaşık sayısının gerçel kısmı 1'den büyük olmalıdır.

Gerçel kısmı 1'den küçük s değerleri için Riemann zeta fonksiyonunun analitik devamı kullanılır.

Riemann zeta fonksiyonunun, köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann hipotezi birçok matematikçi tarafından yalın matematiğin şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.

Özel değerler

s > 1 için gerçel Riemann zeta fonksiyonu

Ana madde: Riemann zeta fonksiyonunun özel değerleri

Herhangi pozitif 2n çift tamsayısı için:

$\zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

Burada B_2n (2n)'inci Bernoulli sayısıdır. Pozitif tek tam sayılar için basit bir gösterim bilinmiyor. Fakat bu değerlerin tam sayıların cebirsel K-teorisi (algebraic K-theory) ile ilgili olduğu düşünülüyor;

Negatif tam sayılar n ≥ 1 için:

$\zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$

Böylece, özel olarak ζ içinde negatif çift tam sayılar kaybolur çünkü; "1" dışında tüm tek "m"ler için B_m = 0 değerini alır. Bunlara Riemann zeta fonksiyonunun trivial (önemsiz) sıfırları denir.

Analitik devamlılık ile gösterilebileceği üzere:

$\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$

Bu değer ıraksak olan 1 + 2 + 3 + 4 + · · · serisine sonlu bir sonuç vermek için bir yol verir ki, sicim teorisi gibi bazı alanlarda kullanılmıştır. Benzer olarak özel değer:

$\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}\!$

Iraksak olan bir seriye (1+1+1+1+...) yakınsak bir değer vermek olarak görülebilir.

$\zeta (1/2)=-1.46035450880958681288...\!$  

Bu doğrusal denklem kinetik sınır tabaka problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.

Buna rağmen:

$\zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots \!$

Iraksar. Fakat bu eşitliğin:

$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}$

Cauchy principal value (Cauchy temel değeri) vardır ve Euler-Mascheroni sabiti olan $\gamma =0.5772\ldots$'ya eşittir.

$\zeta (3/2)\approx 2.612;\!$  

Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir Bose–Einstein yoğunlaşması ve manyetik sistemlerde spin dalga fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!$   (OEIS'de A013661 dizisi)

Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak bilinir. Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının aralarında asal olma olasılığı nedir?

$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \ =1.202056903159594285399\cdots \!$  

Bu Apéry'in sabiti'dir.

$\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!$  

Fizikteki Stefan–Boltzmann kanununun türevine Planck kanunu bütünleştirilirse belirgin olur.

Gösterimler

Mellin dönüşümü

Bir fonksiyon ƒ(x)'in, Mellin dönüşümü şu şekilde tanımlanır:

$\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\,dx,$

Bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak zeta-fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardır. Eğer s'in gerçek parçası 1'den daha büyük ise,

$\Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,$

Burada Γ Gama fonksiyonunu ifade eder. Riemann, sınır değiştirerek şunu gösterdi:

$2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{C}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx$

Her s için, burada C başlangıç ve +∞ da son sınırlarıdır ve başlangıcı çevreler.

Asal sayılara ilişkin bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve asal sayı teoremi eğer π(x) Asal-değer fonksiyonu ise Re(s) > 1 değerleri ile

$\log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,dx,$

Bir benzer Mellin dönüşümünü, Riemann asal-değer fonksiyonu J(x) içerir, bu değerler asal kuvvet pⁿ ve 1/n'in ağırlığı ile böylece

$J(x)=\sum {\frac {\pi (x^{1/n})}{n}}.$

Şimdi elimizde;

$\log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,dx.$ var

Bu bağıntıda ters Mellin dönüşümünü asal sayı teoreminin anlamını sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-deger fonksiyonu ile çalışmak için daha kolaydır ve π(x) Möbius tersi ile bundan kurtulunabilir.

Teta fonksiyonları

Riemann zeta fonksiyonu bir ıraksak Mellin dönüşümü ile Jacobi teta foksiyonunun terimleri içinde resmen verilebilir

$\theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau )$ ile

$2\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }\theta (it)t^{s/2-1}\,dt,$

Bununla beraber bu integral s 'in herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:

${\begin{aligned}&{}\quad \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)\\[6pt]&={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-1/2}\right)t^{s/2-1}\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }(\theta (it)-1)t^{s/2-1}\,dt.\end{aligned}}$

Laurent serileri

Riemann zeta fonksiyonu tek s = 1'de tek katli bir tek kutup ile meromorfiktir. Bunun için bir Laurent serisi boyutu s = 1 de seriye açılabilir olsun;

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.$

γ_n sabitine Stieltjes sabiti deniliyor ve limit ile tanımlanabilir

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\log k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\log m)^{n+1}}{n+1}}\right]}.$

Sabit terim γ₀ Euler–Mascheroni sabitidir.

Integral

$s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$ tümü için integral ilişkisi

$\zeta (s)={\frac {2^{s-1}}{s-1}}-2^{s}\!\int _{0}^{\infty }\!\!\!{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}(\mathrm {e} ^{\pi \,t}+1)}}\,\mathrm {d} t,$

tutulanlar doğrudur, Zeta-fonksiyonunun bir sayısal evrimi için kullanılabilir.

Yükselen faktöriyel

Diğer serileri geliştirmede tam karmaşık düzlem için yükselen faktöryel değeri kullanılan

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta (s+n)-1\right){\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.\!$'dir

Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli olarak kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu x^s−1; Gauss–Kuzmin–Wirsing işlemcisi hareketi üzerinde bir integral içinde Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür ve yine bu bağlamda düşen faktöriyelin terimleri içinde bir seri açılımına genişletilir.

Hadamard çarpımı

Başlığın diğer anlamları için Matris çarpımı sayfasına bakınız.

Hadamard,Weierstrass'ın çarpanlama teoreminin temelinde sonsuz çarpım açılımını verdi

$\zeta (s)={\frac {exp({(\log(2\pi )-1-\gamma /2)s})}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{s/\rho },\!$

burada çarpım ζ'nın önemsiz-olmayan sıfırlar ρ dir ve yine γ harfi Euler–Mascheroni sabiti ifade eder.Daha basit bir sonsuz çarpım açılımı

$\zeta (s)=\pi ^{s/2}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}.\!$

dır Bu form s = 1,de basit kutuplar −2, −4, ... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde gamma fonksiyonu terimine gereken ve s = ρda önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani ρ formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1 − ρ birleştirilmelidir.)

Kritik şerit üzerinde logaritmik türev

${\pi {\frac {dN}{dx}}(x)={\frac {1}{2i}}{\frac {d}{dx}}{\bigl (}\log(\zeta (1/2+ix))-\log(\zeta (1/2-ix)){\bigr )}-{\frac {2}{1+4x^{2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+1/2}{(2n+1/2)^{2}+x^{2}}}}$

burada ${\frac {dN(x)}{dx}}=\sum _{\rho }\delta (x-\rho )$ kritik şerit 0 < Re(s) < 1 üzerinde ζ nın sıfırının yoğunluğudur.(δ Dirac delta dağılımıdır ve toplam ζ'nin üzerinde önemsiz olmayan ρ of dir).

Küresel yakınsak seriler

zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri, tüm karmaşık sayılar için s değerleris = 1 + 2πin/log(2) dışında bazı n tam sayı için,Konrad Knopp 1930 içinde Helmut Hasse ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. Euler toplamı):

$\zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(k+1)^{-s}.\!$

serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi ve genel bilgiler kadar olmadı bu 60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).

Hasse ayrıca küresel yakınsak seriyi kanıtlanmıştır

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}$

aynı baskı içindedir.

Peter Borwein yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti. Algoritma, Chebyshev polinomlarından yararlanarak, Dirichlet eta fonksiyonu üzerine yazılar içinde tanımlanır.

Uygulamalar

Zeta fonksiyonu istatistik uygulamaları içinde oluşur (bak Zipf's kanunu ve Zipf–Mandelbrot kanunu).

Zeta fonksiyon düzenlenmesi ıraksak serisinin düzenlenmesi ve kuantum alan teorisi içinde ıraksak integralin bir olasılığı olarak kullanılır. Bir önemli örnekte, Casimir etkisinin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir. Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.

Sonsuz seriler

zeta fonksiyonu pozitif tamsayilarda değerlendirildiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir. Burada daha öte formüller harmonik sayılar yazısı içindedir

$1=\sum _{n=2}^{\infty }(\zeta (n)-1)$  ve aslında tek ve çift terimlerin iki toplamlarını da verir;   $\sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)={\tfrac {3}{4}}$   ve   $\sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)={\tfrac {1}{4}}.$

$\log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}.$

$1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}$   burada γ Euler sabitidir.

$\log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(2({\tfrac {3}{2}})^{n}-3)(\zeta (n)-1)}{n}}.$

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}{\mathfrak {I}}((1+i)^{n}-(1+i^{n}))$   burada ${\mathfrak {I}}$  bir karmaşık sayının sanal kısmıni gösterilir.

Bazı zeta serileri daha karmaşık bağlantılarda değerlendirilir

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{2^{2n}}}={\frac {1}{6}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{4^{2n}}}={\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{8^{2n}}}={\frac {61}{126}}-{\frac {\pi }{16}}({\sqrt {2}}+1).$

$\sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (4n)-1)={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Dış bağlantılar

• Wolfram Mathworld'de Riemann zeta işlevi9 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Seçili kökler tablosu17 Mayıs 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• 1.000.000 kök içeren dosya29 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Çekiştirilen Asal Sayılar Zeta işlevinin asal sayılar açısından önemine ilişkin genel bir değerlendirme
• Zeta İşlevinin X-Işını20 Kasım 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. zetanın gerçel ve tümüyle karmaşık olduğu bölgelerin görsel sunumu
• Riemann zeta işlevi formül ve özdeşlikleri2 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Riemann zeta işlevi ve ters üslerin diğer toplamları10 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.