Dirichlet beta fonksiyonu - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Tanım
  • 2 Fonksiyonal denklem
  • 3 Özel değerler
  • 4 Ayrıca bakınız
  • 5 Kaynakça

Dirichlet beta fonksiyonu

  • Català
  • Čeština
  • Deutsch
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Français
  • עברית
  • Íslenska
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Русский
  • Slovenščina
  • Svenska
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematik'teki Dirichlet beta fonksiyonu (diğer bir deyişle Catalan beta fonksiyonu) özel fonksiyon'dur, aslında modifiye edilerek parantezlenmiş Riemann zeta fonksiyonu'nundan ibarettir. özel bir şekli Dirichlet L-fonksiyon'udur.

Tanım

[değiştir | kaynağı değiştir]

Dirichlet beta fonksiyonu'nun tanımı

β ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) s , {\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},} {\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}

veya eşdeğeri,

β ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x 1 + e − 2 x d x . {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.} {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}

Re(s) > 0 olduğu her durum için geçerlidir.

Alternatif olarak, aşağıdaki Hurwitz zeta fonksiyonu'nun kompleks değerleri için s-plan'da yapılan tanım

β ( s ) = 4 − s ( ζ ( s , 1 4 ) − ζ ( s , 3 4 ) ) . {\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).} {\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}

Diğer bir eşdeğer tanımlama, Lerch transcendent terimleri içerisindedir:

β ( s ) = 2 − s Φ ( − 1 , s , 1 2 ) , {\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),} {\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}

s 'nin bütün karmaşık değerleri için bu bir kez daha geçerlidir.

Fonksiyonal denklem

[değiştir | kaynağı değiştir]

fonksiyonal denklem beta fonksiyonunun açılımı kompleks düzlem'in sol tarafında Re(s)<0 için,

β ( s ) = ( π 2 ) s − 1 Γ ( 1 − s ) cos ⁡ π s 2 β ( 1 − s ) {\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)} {\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)} olarak verilir.

Burada Γ(s) Gama fonksiyonu'dur.

Özel değerler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bazı tanınmış özel değerler:

β ( 0 ) = 1 2 , {\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},} {\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}
β ( 1 ) = tan − 1 ⁡ ( 1 ) = π 4 , {\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},} {\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}
β ( 2 ) = G , {\displaystyle \beta (2)\;=\;G,} {\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}

burada G Catalan sabiti'dir. ve

β ( 3 ) = π 3 32 , {\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},} {\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}
β ( 4 ) = 1 768 ( ψ 3 ( 1 4 ) − 8 π 4 ) , {\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),} {\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),}
β ( 5 ) = 5 π 5 1536 , {\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},} {\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}
β ( 7 ) = 61 π 7 184320 , {\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},} {\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}

burada ψ 3 ( 1 / 4 ) {\displaystyle \psi _{3}(1/4)} {\displaystyle \psi _{3}(1/4)} poligama fonksiyonu'nun sayısal bir değeridir. her pozitif k tam sayısı için genelleştirirsek:

β ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k E 2 k π 2 k + 1 4 k + 1 ( 2 k ! ) , {\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},} {\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},}

Burada   E n {\displaystyle \!\ E_{n}} {\displaystyle \!\ E_{n}} olarak gösterlien Euler sayısı'dır.. k ≥ 0,

için açılımlanmış şekli:

β ( − k ) = E k 2 . {\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.} {\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}

Dolayısıyla bağıntının bütün negatif integral değerleri için fonksiyon tuhaf bir şekilde gözden kaybolur.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Hurwitz zeta fonksiyonu

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
  • Eric W. Weisstein, Dirichlet Beta Function (MathWorld)
  • g
  • t
  • d
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
  • Dirichlet dağılımı
  • Dirichlet karakteri
  • Dirichlet süreci
  • Dirichlet-multinom dağılımı
  • Dirichlet serisi
  • Aritmetik diziler üzerine Dirichlet teoremi
  • Dirichlet konvolüsyonu
  • Dirichlet problemi
  • Dirichlet integrali
  • Dirichlet eta fonksiyonu
  • Dirichlet beta fonksiyonu
  • Dirichlet fonksiyonu
  • Dirichlet testi
  • Dirichlet sınır koşulu
  • Dirichlet karolaması
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Dirichlet_beta_fonksiyonu&oldid=32552895" sayfasından alınmıştır
Kategori:
  • Zeta ve L-fonksiyonları
  • Sayfa en son 21.13, 22 Nisan 2024 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Dirichlet beta fonksiyonu
Konu ekle