Dirichlet eta işlevi

Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi $\eta (s)$. $s$ noktasındaki renk $\eta (s)$ değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

$\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}$

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

$\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}$

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

$\eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1)$

Sayısal Algoritmalar

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

$\eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}$

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemi

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

$d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}$

koşulu sağlanıyorsa

$\eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s)$

eşitliğine ulaşılır. Burada $\Re (s)\geq {\frac {1}{2}}$ için geçerli γ_n hata payı

$|\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|)$

olarak hesaplanır.

Hata payındaki $3+{\sqrt {8}}\approx 5.8$ ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerler

Daha fazla bilgi: [[:Zeta sabiti]]

• η(0) = ¹⁄₂, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı
• η(−1) = ¹⁄₄, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı
• k 1'den büyük bir tam sayı olmak üzere B_k k. Bernoulli sayısı ise

  $\eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}$

Ayrıca,

$\!\ \eta (1)=\ln 2$ (almaşık harmonik dizi)

$\eta (2)={\pi ^{2} \over 12}$

$\eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}$

$\eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}$

$\eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}$

$\eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}$

$\eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}$

Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

$\eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi