Cauchy-Riemann denklemleri - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Yorumu ve formülasyonu
    • 1.1 Açıkorur gönderimler
    • 1.2 Karmaşık eşleniğin bağımsız olması
    • 1.3 Karmaşık türevlilik
    • 1.4 Diğer temsiller
  • 2 Homojen olmayan denklemler
  • 3 Genelleştirmeler
    • 3.1 Goursat teoremi ve genelleştirmeleri
    • 3.2 Çok değişkenli fonksiyonlara yönelik tanım
  • 4 Kaynakça
  • 5 Dış bağlantılar

Cauchy-Riemann denklemleri

  • العربية
  • Български
  • Català
  • Čeština
  • Cymraeg
  • Deutsch
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Eesti
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • עברית
  • हिन्दी
  • Magyar
  • İtaliano
  • 日本語
  • ქართული
  • 한국어
  • Lietuvių
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Piemontèis
  • Português
  • Română
  • Русский
  • Svenska
  • Українська
  • Oʻzbekcha / ўзбекча
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Cauchy–Riemann denklemleri sayfasından yönlendirildi)

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

Bir gerçel değerli fonksiyon çifti u(x,y) ve v(x,y) için yazılan Cauchy-Riemann denklemleri aşağıdaki gibidir:

  ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y             ( 1 a ) {\displaystyle \quad \ {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}\ \ \ \ \ \ (1a)} {\displaystyle \quad \ {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}\ \ \ \ \ \ (1a)}

ve

  ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x .         ( 1 b ) {\displaystyle \quad \ {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.\ \ \ \ (1b)} {\displaystyle \quad \ {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.\ \ \ \ (1b)}

Genelde u ve v çifti, karmaşık değerli bir f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımları olarak alınır. u ve v, C 'nin açık bir kümesinde sürekli şekilde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman, f=u+iv ancak ve ancak u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini ((1a)'yı ve (1b)'yi) sağlarsa, holomorftur.

Yorumu ve formülasyonu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Açıkorur gönderimler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Cauchy-Riemann denklemleri çeşitli yollarla genelde tekrar formüle edilirler. Birincisi,

(2) i ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y {\displaystyle \quad {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}} {\displaystyle \quad {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}}

karmaşık formunda yazılabilirler.

Bu formda, denklemler yapısal olarak Jakoben matrisinin, a = ∂ u / ∂ x = ∂ v / ∂ y {\displaystyle \scriptstyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y} {\displaystyle \scriptstyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y} ve b = ∂ v / ∂ x = − ∂ u / ∂ y {\displaystyle \scriptstyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y} {\displaystyle \scriptstyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y} olacak şekilde,

( a − b b a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}

formunda olmasına karşılık gelir. Bu formdaki bir matris bir karmaşık sayının matris temsilidir. Geometrik olarak, böyle bir matris her zaman homotetisi olan bir rotasyonun bileşkesidir ve bilhassa açıları korur. Sonuç olarak, türevi sıfırdan farklı, Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan bir fonksiyon düzlemdeki eğriler arasındaki açıyı korur. Yani, Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun açıkorur gönderim olması için olan koşullardır.

Karmaşık eşleniğin bağımsız olması

[değiştir | kaynağı değiştir]

Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır:

(3) ∂ f ∂ z ¯ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}

Burada, türev operatörü ∂ ∂ z ¯ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}} {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}

∂ ∂ z ¯ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)} {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}

olarak tanımlanmıştır.

Bu formda, Cauch-Riemann denklemleri "f, z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} {\displaystyle {\bar {z}}} değişkeninden bağımsızdır" olarak yorumlanabilir.

Karmaşık türevlilik

[değiştir | kaynağı değiştir]

Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorf) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §1.2 ). Daha ayrıntılı bir şekilde,

f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) {\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)} {\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}

z ∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun. O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa

lim h → 0 h ∈ C f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h = f ′ ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})} {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}

olarak tanımlanır.

Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h → 0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir. Reel eksen boyunca yaklaşılırsa

lim h → 0 h ∈ R f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h = ∂ f ∂ x ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})} {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}

elde edilir. Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa

lim h → 0 i h ∈ i R f ( z 0 + i h ) − f ( z 0 ) i h = lim h → 0 i h ∈ i R − i f ( z 0 + i h ) − f ( z 0 ) h = − i ∂ f ∂ y ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}-i{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{h}}=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})} {\displaystyle \lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}-i{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{h}}=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}

elde edilir. İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği

∂ f ∂ x ( z 0 ) = − i ∂ f ∂ y ( z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}

ifadesini verecektir. Fark edilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir.

Tersine, f:C → C, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir.

Diğer temsiller

[değiştir | kaynağı değiştir]

Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır. Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman ( ∇ n , ∇ s ) {\displaystyle \scriptstyle (\nabla n,\nabla s)} {\displaystyle \scriptstyle (\nabla n,\nabla s)} 'nin birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de

∂ u ∂ s = ∂ u ∂ n , ∂ u ∂ n = − ∂ u ∂ s {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {\partial u}{\partial n}},\quad {\frac {\partial u}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}} {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {\partial u}{\partial n}},\quad {\frac {\partial u}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}}

eşitlikleri sağlanır. Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler

∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ θ , ∂ v ∂ r = − 1 r ∂ u ∂ θ {\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }} {\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }}

halini alır.

f için bu iki denklem birleştirildiğinde

∂ f ∂ r = 1 i r ∂ f ∂ θ {\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }} {\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }}

elde edilir.

Homojen olmayan denklemler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur:

∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y = α ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=\alpha (x,y)} {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=\alpha (x,y)}
∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x = β ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=\beta (x,y)} {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=\beta (x,y)}

Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2)

∂ f ∂ z ¯ = ϕ ( z , z ¯ ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}})} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}})}

Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir. Aslında Cauchy integral formülü kullanılarak her ζ ∈ D için

f ( ζ , ζ ¯ ) = 1 2 π i ∬ D ϕ ( z , z ¯ ) d z ∧ d z ¯ z − ζ {\displaystyle f(\zeta ,{\bar {\zeta }})={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\phi (z,{\bar {z}}){\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}} {\displaystyle f(\zeta ,{\bar {\zeta }})={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\phi (z,{\bar {z}}){\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}}

ifadesi elde edilir.

Genelleştirmeler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Goursat teoremi ve genelleştirmeleri

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ayrıca bakınız: Cauchy-Goursat teoremi

f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman Goursat teoremi, f 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 11.2). Özelde, f 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §9.10, Al. 1).

Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir. f=u+iv açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve f 'nin Ω'da x ve y 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde f holomorftur (ve bu yüzden analitiktir). Bu sonuç Looman-Menşov teoremi olarak bilinir.

f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir. Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela f(z) = z5/|z|4). Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf. 107'dedir.):

f ( z ) = { exp ⁡ ( − z − 4 ) i f   z ≠ 0 0 i f   z = 0 {\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm {if\ } z\not =0\\0&\mathrm {if\ } z=0\end{cases}}} {\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm {if\ } z\not =0\\0&\mathrm {if\ } z=0\end{cases}}}

Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir.

Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir. Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),

  • f(z), Ω ⊂ C açık bölgesinde yerel olarak integrallenebiliyorsa ve zayıf bir şekilde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f, Ω içindeki analitik bir fonksiyonla hemen hemen her yerde aynıdır.

Çok değişkenli fonksiyonlara yönelik tanım

[değiştir | kaynağı değiştir]

Cauchy-Riemann denklemlerinin Çok değişkenli karmaşık analize uygun genelleştirmeleri de vardır. Düzlemdeki tanım her kompleks koordinatta tekrarlanır. Yani, her j = 1 , ⋯ , n {\displaystyle j=1,\cdots ,n} {\displaystyle j=1,\cdots ,n} için

∂ f ∂ z ¯ j = 1 2 ( ∂ f ∂ x j − 1 i ∂ f ∂ y j ) {\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}_{j}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x_{j}}-{1 \over i}{\partial f \over \partial y_{j}}\right)} {\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}_{j}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x_{j}}-{1 \over i}{\partial f \over \partial y_{j}}\right)}

alınır ve kısa bir şekilde

∂ f ∂ z ¯ = 0 {\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0} {\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0}

olarak ya da daha kısa bir şekilde D-bar operatörü ∂ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}} {\displaystyle {\overline {\partial }}} vasıtasıyla

∂ ¯ f = 0 {\displaystyle {\overline {\partial }}f=0} {\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}

olarak yazılır.

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw Hill, 1953, 3. baskı, 0-07-000657-1.
  • J. d'Alembert, Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paris, 1752
  • A.L. Cauchy, Mémoire sur les intégrales définies, Oeuvres complètes Ser. 1, C.1, Paris, 1814, sf. 319–506.
  • H. Chanson, Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange 2 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Journal La Houille Blanche, C. 5, sf. 127-131, 0018-6368.
  • Jean Alexander Dieudonné, Foundations of modern analysis, Academic Press, 1969.
  • L. Euler, Nova Acta Acad. Sci. Petrop., C.10, 1797, sf.3–19
  • J. D. Gray & S. A. Morris, When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?, The American Mathematical Monthly, C. 85, sayı 4, 1978, sf. 246-256 7 Eylül 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • H. Looman, Über die Cauchy-Riemannschen Differeitalgleichungen, Göttinger Nach., 1923, sf. 97-108.
  • George Pólya & Gabor Szegö, Problems and theorems in analysis I, Springer, 1978,3-540-63640-4.
  • Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse, (editör: H. Weber, Riemann's gesammelte math, Werke, Dover, 1953, sf.3–48),1851.
  • Walter Rudin, Real and complex analysis, McGraw Hill, 1987, 3. baskı, 0-07-054234-1.
  • E.D. Solomentsev, Cauchy–Riemann conditions, Springer, 2001.

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Eric W. Weisstein, Cauchy-Riemann denklemleri (MathWorld)
  • Cauchy-Riemann Denklemleri Modülü, John H. Mathews tarafından
  • g
  • t
  • d
Bernhard Riemann
  • Cauchy-Riemann denklemleri
  • Genelleştirilmiş Riemann hipotezi
  • Büyük Riemann hipotezi
  • Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi
  • Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi
  • Yerel zeta fonksiyonu
  • Ölçülebilir Riemann eşleme teoremi
  • Riemann (krater)
  • Riemann Xi fonksiyonu
  • Riemann eğrilik tensörü
  • Riemann hipotezi
  • Riemann integrali
  • Riemann değişmezi
  • Riemann eşleme teoremi
  • Riemann formu
  • Riemann problemi
  • Riemann seri teoremi
  • Riemann çözücü
  • Riemann küresi
  • Riemann toplamı
  • Riemann yüzeyi
  • Riemann zeta fonksiyonu
  • Riemann diferansiyel denklemi
  • Riemann minimal yüzeyi
  • Riemann çemberi
  • Bir yüzey üzerinde Riemann bağlantısı
  • Riemann geometrisi
  • Riemann-Hilbert yazışması
  • Riemann-Hilbert problemleri
  • Riemann-Lebesgue lemması
  • Riemann-Liouville integrali
  • Riemann-Roch teoremi
  • Düzgün manifoldlar için Riemann-Roch teoremi
  • Riemann-Siegel formülü
  • Riemann-Siegel teta fonksiyonu
  • Riemann-Silberstein vektörü
  • Riemann-Stieltjes integrali
  • Riemann-von Mangoldt formülü
Kategori Kategori * Liste Liste
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin
  • BNF: cb12313388z (data)
  • GND: 4147397-8
  • LCCN: sh85021440
  • NLI: 987007284988005171
  • SUDOC: 032025335
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Cauchy-Riemann_denklemleri&oldid=35384291" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Kısmi diferansiyel denklemler
  • Karmaşık analiz
  • Harmonik fonksiyonlar
  • Bernhard Riemann
Gizli kategoriler:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • BNF tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • LCCN tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • NLI tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • SUDOC tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • Sayfa en son 15.45, 22 Mayıs 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Cauchy-Riemann denklemleri
Konu ekle