Tam fonksiyon

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, tam fonksiyon, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların örnekleri arasında polinomlar, üstel fonksiyonlar, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar, sinh ve cosh gibi hiperbolik fonksiyonlar ve yine bunların sonlu toplamları, çarpımları, bileşkeleri, türevleri ve integralleri verilebilir.

Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona analitikliğini koruyacak şekilde devam ettirilemez. Polinom olmayan tam fonksiyonlara aşkın tam fonksiyon adı verilir. Meromorf fonksiyonların rasyonel fonksiyonların genellemesi olarak görülebilmesine benzer bir şekilde, tam fonksiyonlar da polinomların genellemesi olarak görülebilir. Özellikle, meromorf fonksiyonların çarpanlara ayrılması Mittag-Leffler teoremi sayesinde basit rasyonel fonksiyonlara indirgenmesine benzer olarak, tam fonksiyonların çarpanlara ayrılmasının yolu Weierstrass çarpım teoreminden geçer.

Özellikleri

Kuvvet serisi temsili

Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Diğer deyişle, bir $f(z)$ fonksiyonu tamsa, $$\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\$$ gibi karmaşık düzlemin her yerinde yakınsayan (ve bu yüzden tıkız altkümelerde de düzgün yakınsayan) bir kuvvet serisi ile temsil edilebilir. Elbette, böyle bir serinin yakınsaklık yarıçapı sonlu olmayacaktır. Daha doğrusu, $$\ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\$$ olur ve bu ifade, eşdeğer olarak $$\ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~$$ olarak da yazılabilir. Ters yönde ifade etmek gerekirse, bu yakınsaklık yarıçapı şartlarını sağlayan her kuvvet serisi tam fonksiyon olacaktır.

Örnekler

• $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}$
• $\sin(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}$
• $\cos(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}$
• $\cos({\sqrt {z}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{n}$
• ${\frac {\sin({\sqrt {z}})}{\sqrt {z}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{n}$

Kuvvet fonksiyonlarındaki terimlerin katsayılarının gerçel olduğu durumlarda, tam fonksiyonlar gerçel sayı değerleri için elbette gerçel değerler alacaktır. Bu durumda, bir $z$ karmaşık değerinde aldığı değerin eşlenik değerini bir $z$nin eşlenik değerinde alacaktır. Diğer deyişle, $F(z)={\bar {F}}({\bar {z}})$. Bu tür tam fonksiyonlara kendine eşlenik fonksiyon denir.

Bir tam fonksiyonun gerçel kısmı bir noktanın çevresinde biliniyorsa, hem gerçel hem de sanal kısımları (sanal bir sabit belirsizliğinde) tüm karmaşık düzlem için bilinir. Örneğin, gerçel kısım sıfırın çevresinde biliniyorsa $n>0$ için katsayıları şu şekilde bulabiliriz: $${\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&=\left({\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f(r)\ \right\}\right){\Bigg |}_{r=0}\\\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&=\left({\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}\right){\Bigg |}_{r=0}.\end{aligned}}$$ Benzer şekilde, sanal kısım bir komşulukta biliniyorsa, fonksiyon gerçel bir sabit belirsizliğinde belirlenir. Aslında, gerçel kısım sadece bir çemberin yayı üzerinde biliniyorsa, fonksiyon sanal bir sabit belirsizliğinde bilinir. Ancak, gerçel kısmının bilinmesi her bir eğri üzerinde işe yaramaz. Özellikle, bir tam fonksiyonun gerçel kısmının değerleri karmaşık düzlemdeki bir eğride verilmişse ve aynı eğri üzerinde başka bir tam fonksiyonun gerçel kısmı sıfırsa, o zaman bu ikinci tam fonksiyonun herhangi bir katı belirlemeye çalıştığımız tam fonksiyona eklenebilir. Örneğin,

• gerçel kısmın bilindiği eğri gerçel sayı doğrusuysa, o zaman herhangi bir öz-eşlenik fonksiyonu i ile çarpıp bu fonksiyonun üstüne ekleyebiliriz.
• eğri bir döngü oluşturuyorsa, o zaman gerçel kısmı eğri üzerinde bilinen fonksiyonun gerçekten de bu değerler ve bir sanal sayı tarafından belirlenir. Çünkü, gerçel kısmı bir döngü üzerinde sıfır olan tam fonksiyonlar aslında sabittirler ve bir sanal sayıya eşittirler.

Sınırlılık ve büyüme özellikleri

Tam fonksiyonlar, gerçel sayılarda tanımlanmış sonsuz türevli fonksiyonlar gibi, sınırlı olamazlar ve bu özelliği tam fonksiyonlar için ifade eden Liouville teoremidir. Kısacası, sınırlı her tam fonksiyon sabittir. Sonuç olarak, Riemann küresinin (karmaşık düzlem ve sonsuzdaki karmaşık nokta) tümünde tam olan (karmaşık değerli) bir fonksiyon sabittir. Bu yüzden, tam bir fonksiyonun (eğer sabit değilse) sonsuz noktasında bir tekilliği olmak zorundadır. Bu tekillik ya kutup noktasıdır ya da esaslı tekillik noktasıdır. Eğer esaslı tekillik varsa, fonksiyona aşkın tam fonksiyon denilir, öteki türlü fonksiyon bir polinomdur.

Sıfır değerleri ve kökler

• Polinomların sonlu sayıda sıfırı varken, aşkın tam fonksiyonların sıfır sayısı sonlu ya da sonsuz olabilir.
• Liouville teoremi, derecesi $n$ olan bir polinomun $n$ tane kökü olduğunu ifade eden cebirin temel teoremi'nin şık bir kanıtı için de kullanılabilir.
• Picard'ın küçük teoremi, Liouville teoreminin epeyce güçlendirilmiş halidir: Sabit olmayan tam bir fonksiyon, tüm karmaşık değerleri alır veya almadığı karmaşık noktalar en fazla bir tanedir. Bu en son bahsedilen istisnaya örnek olarak 0 değerini hiçbir zaman almayan üstel fonksiyon verilebilir.
• Weierstrass çarpım teoremi sayesinde herhangi bir tam fonksiyonun sıfırlarını (veya "köklerini") içeren bir çarpımla temsil edilebileceğini ifade eder. J. E. Littlewood kitaplarının birinde, Weierstrass sigma fonksiyonunu tipik bir tam fonksiyon olarak seçmiştir.

Tam bir fonksiyonun büyümesi

Kesin artan herhangi bir gerçel fonksiyonunun büyüme hızından daha hızlı büyümeye sahip tam fonksiyonlar bulunabilir. Daha doğrusu, bir $g:[0,\infty )\to [0,\infty )$ fonksiyonu artan fonksiyonsa, o zaman tüm gerçel $x$ değerleri için $f(x)>g(|x|)$ sağlayacak bir $f$ tam fonksiyonu vardır. Mesela, $c$ bir sabit ve $n_{k}$ kesin artan bir pozitif tam sayılar dizisi olmak üzere, böyle bir tam fonksiyon, $$f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}$$ tarafından verilir. Böyle verilmiş her pozitif tam sayı dizisi aracılığıyla $f(z)$ tam fonksiyon olur. Eğer kuvvetler dikkatle seçilirse, tüm gerçel $x$ değerleri için $f(x)>g(|x|)$ sağlanabilir. Örneğin, $c:=g(2)$ alınıp her $k\geq 1$ için $\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)$ eşitsizliğini sağlayacak çift bir $n_{k}$ seçilirse, büyüme koşulu sağlanabilir.

Özellikler

Bir $f$ tam fonksiyonu verilmiş olsun ve $M_{f}(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|$ tanımlansın.

• Eğer, $M_{f}(r)=O(r^{N})$ ise, $f$ tam fonksiyonu derecesi en fazla $N$ olan bir polinomdur. Tersi ifade de doğrudur ve $N$ dereceli bir polinom için $M_{f}(r)=O(r^{N})$ olacağı barizdir.
• Eğer $f$ aşkın tam fonksiyon ise, o zaman

$\lim _{r\to \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{\ln r}}=\infty$

olmak zorundadır.

Gerçekten de, limit sonsuz olmasaydı, yani, $\liminf _{r\to \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{\ln r}}=a$ sağlayan bir $a<\infty$ olsaydı, o zaman her ${\tilde {a}}>a<\infty$ için sonsuza kaçan ve $\ln M_{f}(r_{m})<{\tilde {a}}\ln r_{m}$ eşitsizliğini her $m$ için sağlayan bir $\{r_{m}\}$ dizisi olurdu. Cauchy kestirimi kullanılarak

$|a_{n}|\leq {\frac {M_{f}(r_{m})}{r_{m}^{n}}}<r_{m}^{{\tilde {a}}-n}$

olurdu. $r_{m}\to \infty$ iken $n>{\tilde {a}}$ değerleri sağ taraf sıfır olurdu ki bu yüzden $a_{n}=0$ olurdu. Böylelikle, fonksiyon polinom olurdu ve bu da başlangıçta verilen aşkın tam fonksiyon varsayımıyla çelişki yaratırdı.

Mertebe ve tip

Mertebe

Tam olan bir $f(z)$ fonksiyonunun mertebesi limsup kullanılarak aşağıdaki gibi tanımlanır.

$\rho =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\ln(M_{f}(r)))}{\ln(r)}},$

Bu ifadede $r$, $0$'dan uzaklıktır ve $M(r)$, daha önce tanımlandığı üzere, $\left|z\right|=r$ olduğunda $f(z)$'nin maksimum mutlak değeridir. Yani,

$M_{f}(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|$

Bu yüzden, tam fonksiyonun mertebesi ya negatif olmayan bir gerçel sayıdır ya da sonsuzdur. Başka bir ifadeyle, $f(z)$nin mertebesi, $z\to \infty$ iken $$f(z)=O\left(e^{|z|^{m}}\right)$$ sağlayan tüm $m$ değerlerinin en küçüğüdür (infimum).

Eğer tam fonksiyonun mertebesi bir gerçel sayıysa, o zaman, fonksiyona sonlu mertebeli denir.

Tip

$0<\rho <\infty$ ise, ayrıca tip de aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

$\sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.$

Eğer $\sigma =\infty$ ise, fonksiyon $\rho$ mertebesine göre sonsuz tipte denir.

Örneğin, $f(z)=\sin(\pi z)$ fonksiyonunu göz önüne alalım. Her $z\in \mathbb {C}$ için $\sin {z}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$ olduğu için,

$|f(z)|=|\sin(\pi z)|={\Bigg |}{\frac {e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}{2i}}{\Bigg |}\leq {\frac {1}{2}}|e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}|\leq e^{\pi |z|}$

elde edilir. Aynı zamanda, $r>0$ için $z=-ir$ alınırsa,

$|f(z)|=|\sin(-i\pi r)|={\frac {e^{\pi r}-e^{-\pi r}}{2}}>{\frac {1}{2}}e^{\pi r}>e^{\pi (1-\varepsilon )r}\quad (r>r_{\varepsilon }{\text{ için }})$

Böylece, fonksiyonun tipi $\pi$, mertebesi de 1e eşittir. Mertebesi 1den küçük veya 1e eşit sonlu tipli tam fonksiyonlara üstel tipli fonksiyonlar da denilir. Üstel tipe sahip tam fonksiyonlar, üstel tipi 0 olanlar ($\sigma <1$) ve üstel tipi 1 olanlar ($\sigma =1$) diye ikiye ayrılırlar.

Ayrıca bakınız

• Üstel tipli fonksiyon
• Liouville teoremi (karmaşık analiz)
• Cebirin temel teoremi
• Weierstrass çarpım teoremi
• Jensen formülü

Kaynakça

• Ralph P. Boas, Entire Functions, Academic Press, 195413 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.