Kotanjant teoremi

Bir üçgenin "iç teğet çember"ini ve kenarların bölümlenmesini gösteren bir şekil. Açıortaylar iç merkezde, yani iç teğet çemberin merkezinde kesişir.

Yukarıdaki mantıkla, altı doğru parçasının tamamı gösterildiği gibidir.

Trigonometride, kotanjant teoremi veya kotanjantlar yasası, bir üçgenin kenar uzunlukları ile üç iç açısının yarılarının kotanjantları arasındaki ilişkidir.

Eşitliği sinüs yasası ile ifade edilen üç niceliğin, üçgenin çevrel çemberinin çapına (veya yasanın nasıl ifade edildiğine bağlı olarak bunun tersine) eşit olması gibi, kotanjantlar yasası da bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını (iç teğet çemberin yarıçapı) kenarları ve açılarıyla ilişkilendirir.

İfade

Bir üçgen için olağan gösterimleri kullanarak (sağ üstteki şekle bakın), burada a, b, c üç kenarın uzunlukları, A, B, C bu üç ilgili kenarın karşısındaki köşeler, α, β, γ bu köşelerdeki karşılık gelen açılar, s yarıçap, yani s = a + b + c/2 ve r çizilen dairenin yarıçapıdır, kotanjant yasası şunu belirtir:

$${\frac {\cot {\frac {1}{2}}\alpha }{s-a}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta }{s-b}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\gamma }{s-c}}={\frac {1}{r}},$$

ve ayrıca iç teğet çemberin yarıçapı şu şekilde verilir:

$$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.$$

Kanıt

Kotanjant yasasının kanıtı

Üstteki şekilde, çemberin üçgenin kenarlarına teğet noktaları çevreyi 3 çift halinde 6 parçaya bölmektedir. Her çiftte doğru parçaları eşit uzunluktadır. Örneğin, A tepe noktasına bitişik 2 parça eşittir. Her çiftten bir parça seçersek, bunların toplamı yarıçap olacaktır. s. Bunun bir örneği şekilde renkli olarak gösterilen parçalardır. Kırmızı çizgiyi oluşturan iki parçanın toplamı a'dır, bu nedenle mavi parça (s - a) uzunluğunda olmalıdır. Açıktır ki, diğer beş parçanın uzunlukları da alttaki şekilde gösterildiği gibi, (s - a), (s - b) veya (s - c)'dir.

Şekli inceleyerek ve kotanjant fonksiyonunun tanımını kullanarak, şu sonuca varırız:

$$\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{r}}\,$$

ve diğer iki açı için de benzer şekilde, ilk önermeyi kanıtlayarak.

İkincisi için —iç teğet çember formülü— genel toplam formülünden başlarız:

$$\cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.$$

$\cot \left({\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta +{\tfrac {1}{2}}\gamma \right)=\cot {\tfrac {\pi }{2}}=0,$'e uygulayarak şunu elde ederiz:

$$\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}.$$

(Bu, aynı zamanda üçlü kotanjant özdeşliğidir).

İlk bölümde elde edilen değerleri yerine koyduğumuzda şunu elde ederiz:

$${\begin{aligned}{\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}&={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\\[2pt]&={\frac {3s-2s}{r}}\\[2pt]&={\frac {s}{r}}\end{aligned}}$$

r³/s ile çarpıldığında r² değeri elde edilir ve ikinci önerme kanıtlanmış olur.

Kotanjantlar yasasını kullanan bazı kanıtlar

Kotanjantlar yasasından bir dizi başka sonuç türetilebilir.

• Heron formülü. ABC üçgeninin alanının da 3 çift halinde 6 küçük üçgene bölündüğünü ve her çiftteki üçgenlerin aynı alana sahip olduğunu unutmayın. Örneğin, A tepe noktasının yakınındaki iki üçgen, tabanı (s - a) ve yükseklik r olan dik üçgenlerdir, her birinin alanı 1/2r(s - a)'dır. Dolayısıyla, bu iki üçgen birlikte r(s - a) alanına sahiptir ve bu nedenle tüm üçgenin S alanı;

$${\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}\\&=r(3s-2s)\\&=rs\end{aligned}}$$

Bu, gerektiği gibi aşağıdaki sonucu verir: $$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$

• Mollweide'ın ilk formülü. Toplam formülünden ve kotanjantlar yasasından şunu elde ederiz:

$${\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta -\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\cot {\frac {1}{2}}\beta +\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.$$

Bu, gerektiği gibi aşağıdaki sonucu verir: $${\frac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\frac {1}{2}}\gamma }}$$

• Mollweide'in ikinci formülü. Toplam formülünden ve kotanjantlar yasasından şunu elde ederiz:

$${\begin{aligned}{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +1}{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta -1}}\\[4pt]&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +2\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }}\\[4pt]&={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}$$

Burada, toplam/çarpım formülüne göre bir çarpımı toplama dönüştürmek için ekstra bir adım gereklidir.

Bu da gerektirdiği gibi şu sonucu verir:

$${\frac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }}$$

• Tanjant teoremi de bundan türetilebilir. (Silvester 2001, s. 99)

"Kotanjant yasası" olarak adlandırılan diğer özdeşlikler

Kotanjantlar yasası, sinüsler yasası, kosinüsler yasası veya tanjantlar yasası kadar yaygın veya iyi kurulmuş değildir, bu nedenle aynı isim bazen kotanjantları içeren diğer üçgen özdeşliklerine de uygulanır. Örneğin:

İki açının kotanjantlarının toplamı, aralarındaki kenarın üçüncü tepe noktasından geçen yükseklik oranına eşittir:

$\cot \alpha +\cot \beta ={\frac {c}{h_{c}}}.$

Kosinüs yasası, kosinüs yerine kotanjant cinsinden ifade edilebilir, bu da üçgenin alanını $S$ özdeşliğine dönüştürür:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-4S\cot \gamma .$

Bir üçgenin üç açısının toplamı $\pi$ olduğundan, bu açıların kotanjantlarının ikili çarpımlarının toplamı birdir:

$\cot \alpha \,\cot \beta +\cot \alpha \,\cot \gamma +\cot \beta \,\cot \gamma =1.$

Ayrıca bakınız

• Sinüs kanunu
• Kosinüs kanunu
• Tanjant kanunu
• Mollweide formülü
• Heron formülü