Mollweide formülü - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Diğer trigonometrik özdeşliklerle ilişkisi
  • 2 Çift yönlü ilişkiler
  • 3 Kirişler dörtgeni
  • 4 Kaynakça
  • 5 Konuyla ilgili okumalar

Mollweide formülü

  • العربية
  • Català
  • Čeština
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Español
  • Eesti
  • Euskara
  • Suomi
  • Français
  • Magyar
  • Қазақша
  • 한국어
  • Nederlands
  • Português
  • Русский
  • Српски / srpski
  • Tagalog
  • Українська
  • Tiếng Việt
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şekil 1 - Bir üçgen. α, β ve γ açıları sırasıyla a, b ve c kenarlarının karşısındadır.

Trigonometride Mollweide formülü, bir üçgendeki kenarlar ve açılar arasındaki bir çift ilişkidir.[1][2]

Daha geometrik tarzda bir varyant ilk olarak 1707'de Isaac Newton tarafından ve ardından 1746'da Friedrich Wilhelm von Oppel [de] tarafından yayınlanmıştır. Thomas Simpson 1748'de şu anda standart olan ifadeyi yayınladı. Karl Mollweide aynı sonucu 1808'de bu öncüllere atıfta bulunmadan yeniden yayınladı.[3]

Bu üçgenlerin çözümlerinin tutarlılığını kontrol etmek için kullanılabilir.[4]

a , {\displaystyle a,} {\displaystyle a,} b , {\displaystyle b,} {\displaystyle b,} ve c {\displaystyle c} {\displaystyle c} bir üçgenin üç kenarının uzunlukları olsun. α , {\displaystyle \alpha ,} {\displaystyle \alpha ,} β , {\displaystyle \beta ,} {\displaystyle \beta ,} ve γ {\displaystyle \gamma } {\displaystyle \gamma } sırasıyla bu üç kenarın karşısındaki açıların ölçüleri olsun. Mollweide'in formülleri şunlardır:

a + b c = cos ⁡ 1 2 ( α − β ) sin ⁡ 1 2 γ , a − b c = sin ⁡ 1 2 ( α − β ) cos ⁡ 1 2 γ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma }}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma }}.\end{aligned}}}

Diğer trigonometrik özdeşliklerle ilişkisi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Çünkü düzlemsel bir üçgende 1 2 γ = 1 2 π − 1 2 ( α + β ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma ={\tfrac {1}{2}}\pi -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta ),} {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma ={\tfrac {1}{2}}\pi -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta ),} bu özdeşlikler alternatif olarak küresel üçgenler için Napier analojilerinin daha açık bir şekilde sınırlayıcı bir durumu olduğu bir biçimde yazılabilir (bu Von Oppel tarafından kullanılan formdu),

a + b c = cos ⁡ 1 2 ( α − β ) cos ⁡ 1 2 ( α + β ) , a − b c = sin ⁡ 1 2 ( α − β ) sin ⁡ 1 2 ( α + β ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.\end{aligned}}}

c {\displaystyle c} {\displaystyle c}'yi ortadan kaldırmak için birini diğerine bölmek tanjantlar yasası ile sonuçlanır,

a + b a − b = tan ⁡ 1 2 ( α + β ) tan ⁡ 1 2 ( α − β ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}

Yalnızca yarım açı tanjantları açısından, Mollweide formülü şu şekilde yazılabilir

a + b c = 1 + tan ⁡ 1 2 α tan ⁡ 1 2 β 1 − tan ⁡ 1 2 α tan ⁡ 1 2 β , a − b c = tan ⁡ 1 2 α − tan ⁡ 1 2 β tan ⁡ 1 2 α + tan ⁡ 1 2 β , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\end{aligned}}}

veya eşdeğer olarak

tan ⁡ 1 2 α tan ⁡ 1 2 β = a + b − c a + b + c , tan ⁡ 1 2 α tan ⁡ 1 2 β = − a − b + c − a + b + c . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta &={\frac {a+b-c}{a+b+c}},\\[10mu]{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}&={\frac {{\phantom {-}}a-b+c}{-a+b+c}}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta &={\frac {a+b-c}{a+b+c}},\\[10mu]{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}&={\frac {{\phantom {-}}a-b+c}{-a+b+c}}.\end{aligned}}}

Bu özdeşliklerin ilgili taraflarını çarpmak, üç kenar cinsinden bir yarım açı tanjantı verir,

( tan ⁡ 1 2 α ) 2 = ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( a + b + c ) ( − a + b + c ) . {\displaystyle {\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\bigr )}^{2}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}}.} {\displaystyle {\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\bigr )}^{2}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}}.}

karekökünü aldıktan sonra kotanjantlar yasası haline gelir,

cot ⁡ 1 2 α s − a = cot ⁡ 1 2 β s − b = cot ⁡ 1 2 γ s − c = s ) ( s − c ) ( s − b ) ( s − a ) , {\displaystyle {\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{s-a}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }{s-b}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{s-c}}={\sqrt {\frac {s{\vphantom {)}}}{(s-c)(s-b)(s-a)}}},} {\displaystyle {\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{s-a}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }{s-b}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{s-c}}={\sqrt {\frac {s{\vphantom {)}}}{(s-c)(s-b)(s-a)}}},}

burada s = 1 2 ( a + b + c ) {\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} {\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} yarı çevredir.

Bu özdeşliklerin sinüs yasası ve kosinüs yasası ile eşdeğer olduğu da kanıtlanabilir.

Çift yönlü ilişkiler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel trigonometride kosinüs yasası ve Napier'in analojileri gibi türetilmiş özdeşlikler, kenarları ölçen merkezi açıları ve köşelerdeki dihedral açıları değiştiren kesin duallere sahiptir. Sonsuz küçük limitte, kenarlar için kosinüs yasası düzlemsel kosinüs yasasına indirgenir ve Napier'in analojilerinden ikisi Mollweide'in yukarıdaki formüllerine indirgenir. Ancak açılar için kosinüs yasası, 0 = 0 {\displaystyle 0=0} {\displaystyle 0=0}'a dönüşür. Kenar uzunluğunun karesini, küresel fazlalığa E , {\displaystyle E,} {\displaystyle E,} bölerek, küresel trigonometri bağıntısı olan minimize olmayan bir oran elde ederiz:

tan 2 ⁡ 1 2 c tan ⁡ 1 2 E = sin ⁡ γ sin ⁡ α sin ⁡ β . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\tan {\tfrac {1}{2}}E}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\tan {\tfrac {1}{2}}E}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }}.\end{aligned}}}

Sonsuz küçük limitte, küresel kenarların yarım açı teğetleri düzlemsel kenarların uzunluklarına indirgendiğinden, küresel fazlalığın yarım açı teğeti düzlemsel bir üçgenin A {\displaystyle A} {\displaystyle A} alanının iki katına iner, yani düzlemde bu böyledir:

c 2 2 A = sin ⁡ γ sin ⁡ α sin ⁡ β , {\displaystyle {\frac {c^{2}}{2A}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }},} {\displaystyle {\frac {c^{2}}{2A}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }},}

ve aynı şekilde a {\displaystyle a} {\displaystyle a} ve b {\displaystyle b} {\displaystyle b} için.

Sonuç olarak (yukarıdaki formülü a {\displaystyle a} {\displaystyle a} ve b {\displaystyle b} {\displaystyle b} cinsinden çarparak veya bölerek) Mollweide formüllerinin iki çift yönlü ifadesini elde ederiz. İlki alanı iki kenar ve dahil edilen açı cinsinden ifade eder, diğeri ise sinüs yasasıdır:

a b 2 A = 1 sin ⁡ γ , {\displaystyle {\frac {ab}{2A}}={\frac {1}{\sin \gamma }},} {\displaystyle {\frac {ab}{2A}}={\frac {1}{\sin \gamma }},}
a b = sin ⁡ α sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}.} {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}.}

İkinci formülü alternatif olarak Mollweide formüllerinden birine daha yakın bir biçimde ifade edebiliriz (yine tanjantlar yasası):

tan ⁡ 1 2 ( α + β ) cot ⁡ 1 2 γ = a − b a + b . {\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }}={\frac {a-b}{a+b}}.} {\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }}={\frac {a-b}{a+b}}.}

Kirişler dörtgeni

[değiştir | kaynağı değiştir]
Herhangi bir kirişler dörtgeni Mollweide formülünün bir genellemesini karşılar.

Mollweide formülünün bir genellemesi kirişler dörtgeni için geçerlidir ◻ A B C D {\displaystyle \square ABCD} {\displaystyle \square ABCD}'nin, kenar uzunlukları | A B | = a , {\displaystyle |AB|=a,} {\displaystyle |AB|=a,} | B C | = b , {\displaystyle |BC|=b,} {\displaystyle |BC|=b,} | C D | = c , {\displaystyle |CD|=c,} {\displaystyle |CD|=c,} ve | D A | = d {\displaystyle |DA|=d} {\displaystyle |DA|=d} ve açı ölçüleri ∠ D A B = α , {\displaystyle \angle {DAB}=\alpha ,} {\displaystyle \angle {DAB}=\alpha ,} ∠ A B C = β , {\displaystyle \angle {ABC}=\beta ,} {\displaystyle \angle {ABC}=\beta ,} ∠ B C D = γ , {\displaystyle \angle {BCD}=\gamma ,} {\displaystyle \angle {BCD}=\gamma ,} ve ∠ C D A = δ {\displaystyle \angle {CDA}=\delta } {\displaystyle \angle {CDA}=\delta } olarak gösterilsin. Eğer E {\displaystyle E} {\displaystyle E} köşegenlerin kesişim noktası ise, ∠ C E D = θ . {\displaystyle \angle {CED}=\theta .} {\displaystyle \angle {CED}=\theta .} olarak gösterilsin. Öyleyse:[5]

a + c b + d = sin ⁡ 1 2 ( α + β ) cos ⁡ 1 2 ( γ − δ ) tan ⁡ 1 2 θ , a − c b − d = cos ⁡ 1 2 ( α + β ) sin ⁡ 1 2 ( δ − γ ) cot ⁡ 1 2 θ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}

Kirişler dörtgeni özdeşliklerine dayalı olarak yerine koyma yoluyla çeşitli varyant formüller oluşturulabilir,

sin ⁡ 1 2 ( α + β ) = − cos ⁡ 1 2 ( β − γ ) = − sin ⁡ 1 2 ( γ + δ ) = cos ⁡ 1 2 ( δ − α ) , cos ⁡ 1 2 ( α + β ) = − sin ⁡ 1 2 ( β − γ ) = − cos ⁡ 1 2 ( γ + δ ) = sin ⁡ 1 2 ( δ − α ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\phantom {-}}\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )={\phantom {-}}\sin {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\cos {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ),\\[3mu]\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )=-\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )=-\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ).\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\phantom {-}}\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )={\phantom {-}}\sin {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\cos {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ),\\[3mu]\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )=-\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )=-\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ).\end{aligned}}}

Bu formüller, iki komşu açının yarım açı tanjantları cinsinden rasyonel ilişkiler olarak yazılabilir:

a + c b + d = tan ⁡ 1 2 α + tan ⁡ 1 2 β 1 + tan ⁡ 1 2 α tan ⁡ 1 2 β tan ⁡ 1 2 θ , b − d a − c = tan ⁡ 1 2 α − tan ⁡ 1 2 β 1 − tan ⁡ 1 2 α tan ⁡ 1 2 β tan ⁡ 1 2 θ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {b-d}{a-c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {b-d}{a-c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}

Bir üçgen, bir kenarının uzunluğu sıfır olan bir dörtgen olarak düşünülebilir. Bu açıdan bakıldığında, d {\displaystyle d} {\displaystyle d} sıfıra yaklaştıkça, bir kirişler dörtgeni, △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \triangle A'B'C'} {\displaystyle \triangle A'B'C'} üçgenine dönüşür ve yukarıdaki formüller benzer üçgen formüllerine basitleşir. Üçgenler için konvansiyona uyacak şekilde yeniden etiketleme, limitte a ′ = b , {\displaystyle a'=b,} {\displaystyle a'=b,} b ′ = c , {\displaystyle b'=c,} {\displaystyle b'=c,} c ′ = a , {\displaystyle c'=a,} {\displaystyle c'=a,} α ′ = α + δ − π = π − θ , {\displaystyle \alpha '=\alpha +\delta -\pi =\pi -\theta ,} {\displaystyle \alpha '=\alpha +\delta -\pi =\pi -\theta ,} β ′ = β , {\displaystyle \beta '=\beta ,} {\displaystyle \beta '=\beta ,} ve γ ′ = γ . {\displaystyle \gamma '=\gamma .} {\displaystyle \gamma '=\gamma .}

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Wilczynski, Ernest Julius (1914), Plane Trigonometry and Applications, Allyn and Bacon, s. 102 
  2. ^ Sullivan, Michael (1988), Trigonometry, Dellen, s. 243 
  3. ^ Bradley, H. C.; Yamanouti, T.; Lovitt, W. V.; Archibald, R. C. (1921), "Discussions: Geometric Proofs of the Law of Tangents", American Mathematical Monthly, 28 (11–12), ss. 440-443 
  4. ^ Ernest Julius Wilczynski, Plane Trigonometry and Applications, Allyn and Bacon, 1914, page 105
  5. ^ José García, Emmanuel Antonio (2022), "A generalization of Mollweide's formula (rather Newton's)" (PDF), Matinf, 5 (9-10), ss. 19-22, 30 Aralık 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)29 Aralık 2023 

Konuyla ilgili okumalar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • De Kleine, H. Arthur (1988), "Proof Without Words: Mollweide's Equation", Mathematics Magazine, 61 (5), s. 281 
  • Karjanto, Natanael (2011), "Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry", Teaching Mathematics and Its Applications, cilt 30, ss. 70-74, arXiv:1808.08049 Özgürce erişilebilir, doi:10.1093/teamat/hrr008 
  • Wu, Rex H. (2007), "The Story of Mollweide and Some Trigonometric Identities" (PDF) (preprint) 
  • Wu, Rex H. (2020), "Proof Without Words: The Mollweide Equations from the Law of Sines", Mathematics Magazine, 93 (5), s. 386, doi:10.1080/0025570X.2020.1817707 
  • g
  • t
  • d
Trigonometri
Ana hatları  • Tarihi  • Kullanım alanları  • Genelleştirilmiş
Açı ölçü birimleri
  • Devir
  • Derece
  • Radyan
  • Grad
Trigonometrik fonksiyonlar &
Ters trigonometrik fonksiyonlar
  • Sinüs (sin)
  • Kosinüs (cos)
  • Tanjant (tan)
  • Kotanjant (cot)
  • Sekant (sec)
  • Kosekant (csc)
  • Versinüs (versin)
  • Verkosinüs (vercosin)
  • Koversinüs (coversin)
  • Koverkosinüs (covercosin)
  • Haversinüs (haversin)
  • Haverkosinüs (havercosin)
  • Hakoversinüs (hacoversin)
  • Hakoverkosinüs (hacovercosin)
  • Ekssekant (exsec)
  • Ekskosekant (excsc)
Referans
  • Özdeşlikler
  • Tam sabitler
  • Tablolar
  • Birim çember
Yasalar ve teoremler
  • Kosinüs teoremi
  • Sinüs teoremi
  • Tanjant teoremi
  • Kotanjant teoremi
  • Pisagor teoremi
Kalkülüs
  • Trigonometrik yerine koyma
  • İntegraller (Ters fonksiyonlar)
  • Türevler
  • Trigonometrik seri
İlgili konular
  • Üçgen
  • Çember
  • Geometri
  • Açı
Kullanıldığı dallar
  • Matematik
  • Geometri
  • Fizik
  • Mühendislik
  • Astronomi
Katkı sağlayan matematikçiler
  • Hipparchus
  • Ptolemy
  • Brahmagupta
  • Battânî
  • Regiomontanus
  • Viète
  • de Moivre
  • Euler
  • Fourier
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mollweide_formülü&oldid=34670249" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Trigonometri
  • Üçgen geometrisi
  • Öklid geometrisi teoremleri
  • Sayfa en son 10.03, 19 Ocak 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Mollweide formülü
Konu ekle