Genelleştirilmiş trigonometri

Sıradan trigonometri, $\mathbb {R} ^{2}$ Öklid düzlemi içindeki üçgenleri inceler. Gerçel sayılar üzerindeki sıradan Öklid geometrik trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın birkaç yolu vardır, örneğin dik açılı üçgen tanımları, birim daire tanımları, seri tanımları, diferansiyel denklemler yoluyla tanımlar ve fonksiyonel denklemler kullanılarak tanımlar. Trigonometrik fonksiyonların genellemeleri, genellikle yukarıdaki yöntemlerden biriyle başlayıp Öklid geometrisinin gerçek sayıları dışındaki bir duruma uyarlanarak geliştirilir. Genel olarak trigonometri, her türlü geometri veya uzay içindeki nokta üçlülerinin incelenmesi olabilir. Bir üçgen en az sayıda köşeye sahip çokgendir, bu nedenle genelleştirmenin bir yönü açı ve çokgenlerin daha yüksek boyutlu analoglarını incelemektir: katı açılar ile tetrahedronlar ve $n$ -simplices gibi politoplar.

Her bir kenar için seçilen yaya bağlı olarak, küre üzerindeki herhangi üç nokta için 8 genelleştirilmiş küresel üçgen vardır.

Trigonometri

Küresel trigonometride küre yüzeyi üzerindeki üçgenler incelenir. Küresel üçgen özdeşlikleri sıradan trigonometrik fonksiyonlar cinsinden yazılır ancak düzlem üçgen özdeşliklerinden farklıdır.
Hiperbolik trigonometri:
1. Hiperbolik fonksiyonlar ile hiperbolik geometrideki hiperbolik üçgenlerin incelenmesi.
2. Öklid geometrisinde Hiperbolik fonksiyonlar: Birim çember (cos t, sin t) ile parametrelendirilirken, eşkenar hiperbol (cosh t, sinh t) ile parametrelendirilir.
3. Jirotrigonometri: Özel görelilik ve kuantum hesaplama uygulamaları ile hiperbolik geometriye jirovektör uzayı yaklaşımında kullanılan bir trigonometri biçimi.
Taksi geometrisi için trigonometri^[1]
Uzay-zaman trigonometrileri^[2]
Bulanık niteliksel trigonometri^[3]
Operatör trigonometri^[4]
Kafes trigonometrisi^[5]
Simetrik uzaylarda trigonometri^[6]^[7]^[8]

Daha yüksek boyutlar

Schläfli ortoşemaları - dik simpleksler (n boyuta genelleştirilmiş dik üçgenler) - n Öklid boyutunun genelleştirilmiş trigonometrisini poligonometri olarak adlandıran Schoute tarafından çalışılmıştır.
- "Ortogonal köşeli" n-simpleksler için Pisagor teoremleri
Bir tetrahedronun trigonometrisi^[9]
- De Gua teoremi - küp köşeli bir tetrahedron için bir Pisagor teoremi
- Dört yüzlüler için bir sinüs yasası
Kutupsal sinüs

Trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonlar kesirli diferansiyel denklemler için tanımlanabilir.^[10]

Zaman ölçeği hesabında, diferansiyel denklemler ve fark denklemleri, q-fark denklemini de içeren zaman ölçeklerinde dinamik denklemler olarak birleştirilir. Trigonometrik fonksiyonlar keyfi bir zaman ölçeğinde (reel sayıların bir alt kümesi) tanımlanabilir.
Sin ve cos'un seri tanımları bu fonksiyonları karmaşık sayılar, p-sel sayılar, matrisler ve çeşitli Banach cebirleri gibi serinin yakınsadığı herhangi bir cebir üzerinde tanımlar.

Diğer

Hiperkompleks sayıların kutupsal/trigonometrik formları^[11]^[12]
Poligonometri – çoklu farklı açılar için trigonometrik özdeşlikler^[13]
Lemniskat eliptik fonksiyonlar, sinlem ve coslem

Ayrıca bakınız

Öklid dışı geometride Pisagor teoremi

Kaynakça

^ Thompson, K.; Dray, T. (2000), "Taxicab angles and trigonometry" (PDF), Pi Mu Epsilon Journal, 11 (2), ss. 87-96, arXiv:1101.2917 , Bibcode:2011arXiv1101.2917T, 23 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)26 Eylül 2024
^ Herranz, Francisco J.; Ortega, Ramón; Santander, Mariano (2000), "Trigonometry of spacetimes: a new self-dual approach to a curvature/signature (in)dependent trigonometry", Journal of Physics A, 33 (24), ss. 4525-4551, arXiv:math-ph/9910041 , Bibcode:2000JPhA...33.4525H, doi:10.1088/0305-4470/33/24/309, MR 1768742
^ Liu, Honghai; Coghill, George M. (2005), "Fuzzy Qualitative Trigonometry", 2005 IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics (PDF), 2, ss. 1291-1296, 25 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi
^ Gustafson, K. E. (1999), "A computational trigonometry, and related contributions by Russians Kantorovich, Krein, Kaporin", Вычислительные технологии, 4 (3), ss. 73-83, 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi26 Eylül 2024
^ Karpenkov, Oleg (2008), "Elementary notions of lattice trigonometry", Mathematica Scandinavica, 102 (2), ss. 161-205, arXiv:math/0604129 , doi:10.7146/math.scand.a-15058, MR 2437186
^ Aslaksen, Helmer; Huynh, Hsueh-Ling (1997), "Laws of trigonometry in symmetric spaces", Geometry from the Pacific Rim (Singapore, 1994), Berlin: de Gruyter, ss. 23-36, CiteSeerX 10.1.1.160.1580 , MR 1468236
^ Leuzinger, Enrico (1992), "On the trigonometry of symmetric spaces", Commentarii Mathematici Helvetici, 67 (2), ss. 252-286, doi:10.1007/BF02566499, MR 1161284
^ Masala, G. (1999), "Regular triangles and isoclinic triangles in the Grassmann manifolds $G 2 (R N)$ ", Rendiconti del Seminario Matematico Università e Politecnico di Torino, 57 (2), ss. 91-104, MR 1974445
^ Richardson, G. (1 Mart 1902). "The Trigonometry of the Tetrahedron". The Mathematical Gazette. 2 (32). ss. 149-158. doi:10.2307/3603090. JSTOR 3603090.
^ West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003), Physics of fractal operators, Institute for Nonlinear Science, New York: Springer-Verlag, s. 101, doi:10.1007/978-0-387-21746-8, ISBN 0-387-95554-2, MR 1988873
^ Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometry of generalized complex numbers", Mathematics Magazine, 77 (2), ss. 118-129, doi:10.1080/0025570X.2004.11953236, JSTOR 3219099, MR 1573734
^ Yamaleev, Robert M. (2005), "Complex algebras on $n$ -order polynomials and generalizations of trigonometry, oscillator model and Hamilton dynamics" (PDF), Advances in Applied Clifford Algebras, 15 (1), ss. 123-150, doi:10.1007/s00006-005-0007-y, MR 2236628, 22 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi
^ Antippa, Adel F. (2003), "The combinatorial structure of trigonometry" (PDF), International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2003 (8), ss. 475-500, doi:10.1155/S0161171203106230 , MR 1967890, 28 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)26 Eylül 2024

[1] Thompson, K.; Dray, T. (2000), "Taxicab angles and trigonometry" (PDF), Pi Mu Epsilon Journal, 11 (2), ss. 87-96, arXiv:1101.2917 , Bibcode:2011arXiv1101.2917T, 23 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)26 Eylül 2024

[2] Herranz, Francisco J.; Ortega, Ramón; Santander, Mariano (2000), "Trigonometry of spacetimes: a new self-dual approach to a curvature/signature (in)dependent trigonometry", Journal of Physics A, 33 (24), ss. 4525-4551, arXiv:math-ph/9910041 , Bibcode:2000JPhA...33.4525H, doi:10.1088/0305-4470/33/24/309, MR 1768742

[3] Liu, Honghai; Coghill, George M. (2005), "Fuzzy Qualitative Trigonometry", 2005 IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics (PDF), 2, ss. 1291-1296, 25 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi

[4] Gustafson, K. E. (1999), "A computational trigonometry, and related contributions by Russians Kantorovich, Krein, Kaporin", Вычислительные технологии, 4 (3), ss. 73-83, 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi26 Eylül 2024

[5] Karpenkov, Oleg (2008), "Elementary notions of lattice trigonometry", Mathematica Scandinavica, 102 (2), ss. 161-205, arXiv:math/0604129 , doi:10.7146/math.scand.a-15058, MR 2437186

[6] Aslaksen, Helmer; Huynh, Hsueh-Ling (1997), "Laws of trigonometry in symmetric spaces", Geometry from the Pacific Rim (Singapore, 1994), Berlin: de Gruyter, ss. 23-36, CiteSeerX 10.1.1.160.1580 , MR 1468236

[7] Leuzinger, Enrico (1992), "On the trigonometry of symmetric spaces", Commentarii Mathematici Helvetici, 67 (2), ss. 252-286, doi:10.1007/BF02566499, MR 1161284

[8] Masala, G. (1999), "Regular triangles and isoclinic triangles in the Grassmann manifolds $G 2 (R N)$ ", Rendiconti del Seminario Matematico Università e Politecnico di Torino, 57 (2), ss. 91-104, MR 1974445

[9] Richardson, G. (1 Mart 1902). "The Trigonometry of the Tetrahedron". The Mathematical Gazette. 2 (32). ss. 149-158. doi:10.2307/3603090. JSTOR 3603090.

[10] West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003), Physics of fractal operators, Institute for Nonlinear Science, New York: Springer-Verlag, s. 101, doi:10.1007/978-0-387-21746-8, ISBN 0-387-95554-2, MR 1988873

[11] Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometry of generalized complex numbers", Mathematics Magazine, 77 (2), ss. 118-129, doi:10.1080/0025570X.2004.11953236, JSTOR 3219099, MR 1573734

[12] Yamaleev, Robert M. (2005), "Complex algebras on $n$ -order polynomials and generalizations of trigonometry, oscillator model and Hamilton dynamics" (PDF), Advances in Applied Clifford Algebras, 15 (1), ss. 123-150, doi:10.1007/s00006-005-0007-y, MR 2236628, 22 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi

[13] Antippa, Adel F. (2003), "The combinatorial structure of trigonometry" (PDF), International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2003 (8), ss. 475-500, doi:10.1155/S0161171203106230 , MR 1967890, 28 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)26 Eylül 2024

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

g t d Trigonometri
Ana hatları • Tarihi • Kullanım alanları • Genelleştirilmiş
Açı ölçü birimleri	Devir Derece Radyan Grad
Trigonometrik fonksiyonlar & Ters trigonometrik fonksiyonlar	Sinüs (sin) Kosinüs (cos) Tanjant (tan) Kotanjant (cot) Sekant (sec) Kosekant (csc) Versinüs (versin) Verkosinüs (vercosin) Koversinüs (coversin) Koverkosinüs (covercosin) Haversinüs (haversin) Haverkosinüs (havercosin) Hakoversinüs (hacoversin) Hakoverkosinüs (hacovercosin) Ekssekant (exsec) Ekskosekant (excsc)
Referans	Özdeşlikler Tam sabitler Tablolar Birim çember
Yasalar ve teoremler	Kosinüs teoremi Sinüs teoremi Tanjant teoremi Kotanjant teoremi Pisagor teoremi
Kalkülüs	Trigonometrik yerine koyma İntegraller (Ters fonksiyonlar) Türevler Trigonometrik seri
İlgili konular	Üçgen Çember Geometri Açı
Kullanıldığı dallar	Matematik Geometri Fizik Mühendislik Astronomi
Katkı sağlayan matematikçiler	Hipparchus Ptolemy Brahmagupta Battânî Regiomontanus Viète de Moivre Euler Fourier