Adi diferansiyel denklem

Matematikte adi diferansiyel denklem (İngilizce ODE - Ordinary Differential Equation), tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Adi diferansiyel denklemler adı daha yaygındır. Kapalı olarak $f(y',y'',...,y^{n},y)=f(x)\,$ şeklinde gösterilirler. Bu ifadede $n$ denklemin derecesini gosterir.

Bu denklem türüne basit bir örnek Newton'un ikinci yasası olan hareketin diferansiyel eşitliği şöyledir;

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=F(x(t)),\,$

m kütle parçasının hareketi için F kuvveti x(t) parçasının t anındaki fonksiyonu olan x(t) eşitliğin her iki tarafında diferansiyel denklem uygulanarak F(x(t)) elde edilir.

Adi diferansiyel denklemler birkaç bağımsız değişken içerebilen Kısmi diferansiyel denklemlerden ayırt edilmelidir.

Kısmi diferansiyel denklemler birçok farklı içeriği olan geometrik, mekanik, astronomik gibi alanları içerir. Newton, Leibniz, Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert, Laplace ve Euler gibi birçok tanınmış matematikçi bu alanlara katkıda bulunmak için diferansiyel denklemler üzerinde çalışmalar yaptı.

Çalışmaların çoğu kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için yapıldı. Bunun sonucunda lineer eşitlikler analitik metotlarla çözülebildi. Günümüzde mevcut olan diferansiyel denklemlerin çoğu lineer olmayandır ve birkaç özel metotla çözümü tam olarak mümkün değildir. Yaklaşık çözümlere bilgisayar yaklaşımları ve sayısal analiz kullanılarak ulaşılır. (bkz. numerik adi diferansiyel denklemler).

Tanktan atılan bir merminin yolu belirli bir eğim çizerek gider. Bu eğri Newton'un ikinci kanununa göre basit diferansiyel denklemdir.

Denklemler yapılarına göre doğrusal veya doğrusal olmayan şeklinde sınıflandırılabilirler. Eğer doğrusal bir denklemde eşitliğin sağ tarafındaki f(x) sıfıra eşitse, homojen diferansiyel denklem, değilse homojen olmayan difransiyel denklem olarak ikiye ayrılırlar. Lineer olmayan denklemlerin homojenliğinden söz edilemez.

Bir diferansiyel denklemin çözümü sonsuz sayıdadır, çünkü bu denklemlerin çözümünde o denklemi sağlayan bir fonksiyon ailesi elde edilir. Ancak başlangıç koşulları veya sınır değerleri verilerek çözümde teklik sağlanır. Bir diferansiyel denklemi sağlayan fonksiyon ailesine, o denklemin genel çözümü denir. Başlangıç veya sınır değerleriyle elde edilen çözüme ise özel çözüm denir. Diferansiyel denklemleri çözmek için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir.