Medyan testi

Medyan testi, bir örneklem kümesinin belirli bir medyan değerine sahip olan bir anakütleden gelip gelmediğinin araştırılmasında kullanılan çift taraflı bir testtir. istatistik biliminde çıkarımsal istatistik alanında bir parametrik olmayan istatistik aletidir ve Pearson'un ki-kare testinin özel bir halidir. Mood'un-medyan-testi veya Westenberg-Mood-medyan-testi veya Brown-Mood-medyan-testi olarak da anılır.

Hipotez testi

Bu, "parametrik olmayan test"de sıfır hipotez H₀ iki rastgele örneklem için bulunan iki örneklem medyanının tek özdeş medyanı olan iki ayrı istatistiksel yığından veya daha kapsamlı bir çıkartım olarak, tek bir medyanı olan tek bir istatistiksel yığından ortaya çıktığı önerisidir. Karşıt hipotez H₁ ise iki örneklemin birbirine özdeş medyanı olan yani tek bir anakütleden gelmediğidir. Dikkat edilirse H₁ bir menfi sonuç verir ve veri iki örneklemin ne türlü iki anakütleden geldiğini açıklamaz. Daha genel bir lisanla ve daha matematiksel olmayan bir şekilde ifadeyle, eğer H₀ kabul edilirse, iki örneklemin tek bir anakütleden gelmiş olduğu, eğer H₀ reddedilirse tek bir anakütleden gelmiş olmadığı sonucu çıkartılır.

Test hesapları

Teste biri V1 n₁ diğeri V2 n₂ büyüklüklerde iki basit rastgele örneklem verileri elde etmekle başlanır. Önce bu iki grup veri birleştirilip (N=n₁+n₂ büyüklüğünde bir birleşik veri serisi elde edilip ve bu birleşik verilerin birleşik medyanı bulunur. Sonra iki örneklem verisi V1 ve V2 ayrı ayrı ele alınır. Her bir örneklemde, her bir veri değeri birleşik medyan değeri ile karşılaştırılır ve veri değerine ya birleşik medyan altında olan yani (-) işareti verilerek ya da birleşik medyan üstünde olan yani (+) işareti verilerek, örneklem verileri iki kısma (- ve + işaretliler) ayrılır. Eğer herhangi bir örneklem verisi birleşik medyan ile ayni değerde ise, Siegel ve Castellan (1988) eğer n₁, n₁ ve N büyükse bunların analizden elimine edilmesini tavsiye ederler. Böylelikle 4 değer elde edilir:

1. A: V1 örneklem verilerinden birleşik medyan değerinin üstünde olan + işaretli veri sayısı;
2. B: V2 örneklem verilerinden birleşik medyan değerinin üstünde olan + işaretli veri sayısı;
3. C: V1 örneklem verilerinden birleşik medyan değerinin altında olan - işaretli veri sayisi;
4. D: V2 örneklem verilerinden birleşik medyan değerinin altında olan - işaretli veri sayısı.

Böylece hesaplarla 2x2 (yani iki sıralı ve iki sütunlu) şu "kontanjans tablosu" ortaya çıkartılır:

	1. Örneklem V1	2. Örneklem V2	Toplam
(+) işaretli veri sayısı	A	B	A + B
(-) işaretli veri sayısı	C	D	C + D
Toplam	n1	n2	N=n1+n2

Test istatistikleri ve çıkartım

Eğer Örneklem V1 ve Örneklem V2 ayni özdeş medyan değeri anakütleden gelmişlerse; her bir örneklem için bileşik yığın medyanının altında olan gözlem sayısı bileşik medyanın üstünde bulunan gözlem sayısı ile aynı olacaktır. Bu demektir ki bu örneklemler tek bir anakütleden gelirlerse

• A = (½)n₁ ve
• B = (½)n₁

olacaktır. C ise A ile aynı değerde ve D ise B ile aynı değerde olacaktır. Birazdan görüleceği gibi bu sınama için kullanılacak "Fisher kesin sınaması" veya "ki-kare sınaması" olacaktır ve A, B, C ve D "gözlenen değerleri", bu değerler ise bu sınama için gereken "beklenen değer"leri verecektir.

Medyan testinde sıfır hipotez iki örneklemin ayni medyanı olan anakütleden geldiği sınanmaktadır; yani bunu matematiksel ifade edersek
H₀: A = (½) n₁ ve B = (½) n₂
olarak yazılır. Karşıt hipotez ise bunların doğru olmayacağıdır; yani matematiksel ifade ile
H₁: A ‡ (½) n₁ ve B ‡ (½) n₂

Mood (1950 say.394-395) makalesinde ispat edilmiştir ki eğer H₀ A = (½) n₁ ve B = (½) n₂ ise A ve B için örnekleme olasılık dağılımı şu şekilde ifade edilen bir hipergeometrik dağılım gösterir:

$p_{A,B}={{{A+C} \choose {A}}{{B+D} \choose {B}}}\left/{{n_{1}+n_{2}} \choose {A+B}}\right.$

Bu nedenle, eğer toplam örneklem büyüklüğü (n₁ + n₂) göre değişik turlu sınama kullanılması gerekir:

• Eğer toplam örneklem büyüklüğü 20'den daha küçükse, yani

(n₁ + n₂) <= 20
veya dört hücrenin herhangi birinde "beklenen değer" 5'in altında ise H₀ sıfır hipotezini test etmek için Fisher kesin sınaması kullanılabilir.

• Eğer toplam örneklem büyüklüğü 20 ile 40 arasında ise ve dört hücrenin hiçbirinde "beklenen değer" 5'in altında değilse

20 <= (n₁ + n₂) <= 40 ve her dört hücrede beklenen değerler 5'in üstündeyse

• Eğer toplam örneklem büyüklüğü 40'ın üstündeyse yani

(n₁ + n₂) >= 40
o halde, serbestlik derecesi 1'e eşit olan bir Pearson'un χ²_s.d=1 sınaması kullanılabilir.

Değerlendirme

Bu testin, örneklem veri büyüklüklerinin (n₁ ve n₁) orta ve büyük hacimde olması halinde etkinliği düşüktür, yani istatistiksel gücü azdır. Küçük hacimli örneklemeler için kullanılması hiç tavsiye edilmez. Bu nedenle araştırmalarda bu türlü hipotezli test için Wilcoxon-Mann-Whitney U testinin kullanılması tercih edilmelidir. Bu iki test türü arasındaki fark "medyan testi"nin her verinin birleşik medyana nispeten verinin pozisyonunu ele alması; buna karşıt "Wilcoxon-Mann-Whitney U-testi"nin her gözlemin veri sıralaması içindeki yerini ele almasıdır. Bunun için Wilcoxon-Mann-Whitney U sınanmasının gücü daha büyüktür.

Fakat, eğer örneklem verilerinin bir veya birkaçı çok aykırı (outlier) değer göstermekte ise Siegel ve Castellan (1988, say. 124) medyan testini kullanmaktan başka çare olmadığını bildirirler.

Dış bağlantılar

• Mood, Alexander McFarlane (1950) Introduction to the Theory of Statistics. New York:McGraw-Hill Book Co., say, 394−398 (İngilizce)
• Siegel, Sidney ve Castellan, N.John (1988), Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences, New York:McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-057357-4 (İngilizce)
• The median test for independent samples. In: Sheskin, David (2007) Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures. Boca Racon:CRC Press, Boca Raton ISBN 1-58488-814-8, S. 645/646 (İngilizce)
• J.D. Gibbons: Median Test, Brown–Mood. In: Encyclopedia of Statistical Sciences. John Wiley & Sons, 2006, (İngilizce)
• Friedlin, Boris ve Joseph L. Gastwirth (2005) Should the Median Test Be Retired From General Use? In: The American Statistician. American Statistical Association Cilt 54 say.161−16, (İngilizce)