Periyot (cebirsel geometri)

Matematikte "periyot" kelimesinin daha sık kullanılan anlamı için için Periyodik fonksiyon sayfasına bakınız.

Cebirsel geometride, bir periyot, bir cebirsel fonksiyonun cebirsel bir tanım kümesi üzerinden integrali olarak ifade edilebilen bir sayıdır. Periyotların toplamları ve çarpımları kapanış prensibi gereği yine periyotlardır, böylece periyotlar bir halka oluştururlar.

Maxim Kontsevich ve Don Zagier, periyotlar üzerine kapsamlı bir inceleme sunmuş ve bu konuyla ilgili birtakım varsayımlara yer vermiştir. Periyotlar, Feynman diyagramılarından elde edilen integrallerin hesaplanması sürecinde de önem kazanmaktadır ve bu alandaki ilişkileri derinlemesine kavramaya yönelik kapsamlı araştırmalar gerçekleştirilmiştir.

Tanım

Bir reel sayı, belirli bir formülasyona göre tanımlanmışsa, bir periyot olarak kabul edilir:

$\int _{P(x,y,z,\ldots )\geq 0}Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots$

Bu durumda, $P$ bir polinom olup, $\mathbb {R} ^{n}$ uzayında rasyonel katsayılara sahiptir ve $Q$ bir rasyonel fonksiyon olarak işlev görür. Eğer bir karmaşık sayının gerçek ve sanal kısımları periyot niteliğindeyse, bu sayı bir periyot olarak değerlendirilir.

Alternatif bir yaklaşımda, $P$ ve $Q$ değerleri cebirsel fonksiyonlar olarak kabul edilebilir; bu, ilk bakışta daha geniş bir tanım gibi görünse de, temelde eşdeğer bir yaklaşımdır. Rasyonel fonksiyonlar ve polinomların katsayıları, cebirsel sayılar olarak daha da genişletilebilir zira irrasyonel cebirsel sayılar, uygun tanım alanlarının alanları aracılığıyla ifade edilebilir.

Diğer bir yaklaşımda, $Q$ değeri, ek değişkenler içeren polinomlar kullanılarak tanımlanan bir bölge üzerinde $\pm 1$'in integrali alınarak, $1$ veya $-1$ olacak şekilde sabit fonksiyon olarak kısıtlanabilir. Yani, bir (negatif olmayan) periyot, bir polinom eşitsizliği ile tanımlanmış $\mathbb {R} ^{n}$ uzayındaki bir bölgenin hacmini temsil eder.

Örnekler

Cebirsel sayılar dışında, aşağıda sıralanan sayılar periyot olarak kabul edilmektedir:

• Herhangi bir pozitif cebirsel sayının a doğal logaritması, $\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x$ formülü ile ifade edilir.
• π $=\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x$
• Rasyonel argümanlara sahip elliptik integraller
• Tüm zeta sabitleri (Riemann zeta fonksiyonu bir tam sayı için) ve çoklu zeta değerleri
• Cebirsel argümanlar için hipergeometrik fonksiyonların özel değerleri
• p ve q doğal sayıları için Γ^q.

Bir periyot olmayan bir reel sayı örneği olarak Chaitin sabiti gösterilebilir. Hesaplanabilir olmayan diğer herhangi bir sayı da, periyot olmayan bir reel sayının örneğini oluşturur. Halihazırda, periyot olmadığı kanıtlanmış hesaplanabilir sayılara dair doğal örnekler mevcut değildir; ancak, yapay örneklerin oluşturulması mümkündür. Periyot olmayan sayılar için muhtemel adaylar arasında e, 1/π ve Euler-Mascheroni sabiti yer alır.

Özellikler ve motivasyon

Periyotlar, cebirsel sayılar ile aşkın sayılar arasındaki farkı kapatmayı hedeflemektedir. Cebirsel sayılar sınıfının kapsamı, pek çok yaygın matematiksel sabiti barındıracak kadar geniş olmadığı için, aşkın sayılar kümesinin sayılabilir olmaması ve üyelerinin genel olarak hesaplanabilir olmaması gibi sorunlar bulunmaktadır.

Tüm periyotları içeren küme sayılabilirdir ve tüm periyotlar hesaplanabilir niteliktedir, bununla birlikte özel olarak tanımlanabilirdirler.

Varsayımlar

Çoğu bilinen periyotlar aynı zamanda aşkın fonksiyonların integralleriyle ilişkilendirilir. Kontsevich ve Zagier, belirli sonsuz serilerin veya aşkın fonksiyonların integrallerinin neden periyot olarak kabul edildiğini açıklamaya yönelik evrensel bir prensibin "görünüşe göre mevcut olmadığını" ifade etmişlerdir.

Kontsevich ve Zagier, bir periyot eğer iki farklı integralle ifade ediliyorsa, bu integrallerin her birinin yalnızca integrallerin doğrusallığı (integrand ve tanım kümesi açısından), değişken değiştirme işlemleri ve Newton–Leibniz formülü

$\int _{a}^{b}f'(x),dx=f(b)-f(a)$

(veya daha kapsamlı bir şekilde, Stokes formülü) kullanılarak birbirine dönüştürülebileceği hipotezini ileri sürmüşlerdir.

Cebirsel sayılar üzerine tanımlanmış bir algoritmik işlemin, iki cebirsel terimin eşitliğinin belirlenmesinde etkin bir yöntem sunması, bu sayıların önemli bir özelliğidir. Kontsevich ve Zagier tarafından öne sürülen hipoteze göre, periyotların eşitliği de algoritmik bir süreçle çözülebilir bir mesele haline gelir: hesaplanabilir gerçek sayılar arasındaki eşitsizlik bilinen bir şekilde yinelenerek sayılabilir özelliktedir; ve tersi durumda, eğer iki integral birbirine eşitse, bir algoritma bu durumu, integrallerden birini diğerine dönüştürmenin tüm muhtemel yollarını araştırarak teyit edebilir.

Euler sayısı e ve Euler-Mascheroni sabiti γ'nin periyot olmadığına dair bir varsayım bulunmaktadır.

Genellemeler

Periyot kavramı, integrandın $Q$, bir cebirsel fonksiyon ile bu cebirsel fonksiyonun üstelinin çarpımı olduğu durumlarda üstel periyotlar şeklinde genişletilebilir. Bu genişleme, e sayısının tüm cebirsel derecelerini, rasyonel argümanlara sahip gama fonksiyonu değerlerini ve Bessel fonksiyonlarının değerlerini kapsar.

Kontsevich ve Zagier'e göre, periyotların, Euler sabiti γ'yı kapsayacak şekilde, daha ileri bir doğal genişletilmesinin mümkün olduğuna dair "belirtiler" mevcuttur. Bu genişletme ile birlikte, "tüm klasik sabitler, uygun bir çerçevede periyotlar olarak kabul edilir".

Ayrıca bakınız

• Jacobyen varyete
• Gauss-Manin bağlantısı
• Karışık güdüler (matematik)
• Tannakian biçimciliği

Kaynakça

• Kontsevich, Maxim; Zagier, Don (2001). "Periods" (PDF). Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (Ed.). Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin, New York City: Springer. ss. 771-808. ISBN 9783540669135. MR 1852188. 

• Marcolli, Matilde (2010). "Feynman integrals and motives". European Congress of Mathematics. Eur. Math. Soc. Zürich. ss. 293-332. arXiv:0907.0321 . 

Konuyla ilgili okumalar

• Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003), "Periods and Igusa local zeta functions", International Mathematics Research Notices, 2003 (49), ss. 2655-2670, doi:10.1155/S107379280313142X , ISSN 1073-7928, MR 2012522 
• Waldschmidt, Michel (2006), "Transcendence of periods: the state of the art" (PDF), Pure and Applied Mathematics Quarterly, 2 (2), ss. 435-463, doi:10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN 1558-8599, MR 2251476 

Dış bağlantılar

• Bu makale PlanetMath'deki Period maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.