Ortogonallik

Matematikte ortogonallik, geometrik diklik kavramının genelleştirilmesidir.

Ortogonallik, matematiksel anlamlarıyla genellikle zayıf bir şekilde ilişkili olan veya hiç ilişkili olmayan çeşitli anlamlarda da kullanılır.

Öklid geometrisinde ortgonallik, bir dik açı oluşturan, yani aralarındaki açı 90 olan iki doğru veya düzlem için kullanılır.

Lineer cebir, bu kavramları daha sonra genelleştirerek üstünde herhangi bir bilineer form tanımlanmış olan vektör uzaylarına ortogonallik kavramını getirmiştir. Bu sayede aynı zamanda lineer dönüşümler için de bir ortogonallik kavramından bahsetmek mümkündür.

Geometride ortogonalite

Öklid geometrisinde

Temel geometride aralarında bir dik açı bulunan, yani 90 derece açı yaparak birbirini kesen iki doğruya ortogonal denir. Öklid, Elemanlarının 1. cildinde diklik kavramını tanımlamıştır:

Tanım 10 Bir doğruya çizilen bir başka doğru iki komşu açıyı eşit kılıyorsa her iki açıya da dik denir ve bu düz çizgi, üzerine çizildiği düz çizgiye diktir denir.

Aynı zamanda Öklid 4. postülasıyla tüm dik açıların birbirine eşit olduğunu varsayarak beklediğimiz özellikleri almasını sağlamıştır:

Belit 4 Bütün dik açılar birbirine eşittir.

Benzer şekillerde düzlemlerin ortogonalitesinden bahsetmek de mümkündür. Aynı zamanda dik açılardan oluşan çokgenlere de ortogonal çokgen denir.

Analitik geometride

Vektörler için

Analitik geometride iki vektör arasındaki açı, nokta çarpımı ile belirlenir;$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} =||\mathbf {v} ||\cdot ||\mathbf {u} ||\cos(\angle \mathbf {vu} )$$İki vektör birbirine dik açı yapıyorsa o zaman $\cos(\angle \mathbf {vu} )=\cos(90^{\circ })=0$ olduğundan analitik geometride ortogonalite,$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} =0$$şartıyla belirlenir. Bu bakış açısıyla $\mathbf {0}$ vektörü, her vektöre ortogonaldir. Aynı şekilde her iki vektörün birbirine ortogonal olduğu bir küme için de birbirine ortogonal tabiri kullanılır.

Doğrular ve düzlemler için

Aynı şekilde analitik uzayda iki doğru, eğer yön vektörleri birbirine ortogonalse ortogonal kabul edilir. 2 boyutun üstündeki boyutlarda paralel olmayan iki doğrunun kesişme zorunluluğu yoktur, ancak bu tanımla bu tarz doğrular da birbirine ortogonal sayılabilir. Aynı şekilde 3 boyutlu analitik uzayda bir doğru ve bir düzlem, düzlemden geçen vektörler her zaman doğruya ortogonalse birbirine ortogonal sayılırlar. İki düzlem ise, birisinden geçip diğerine ortogonal olan bir doğru mevcutsa ortogonal sayılırlar.

Aşağıdaki örnekte olduğu gibi denklemlerle tanımlanan iki doğru,$$y=m_{1}x+b_{1};y=m_{2}x+b_{2}$$$m_{1}m_{2}=-1$ şartı sağlandığında birbirine ortogonal olur. Bu, yön vektörlerinin birbirine dik olması ile eşdeğerdir, yani$${\begin{pmatrix}1\\m_{1}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\m_{2}\end{pmatrix}}=0$$olmasını talep etmekle mütekabildir.

Lineer cebirde ortogonalite

Ortogonal vektörler

Lineer cebirde vektör uzayı kavramının araştırılmasıyla ortogonalliği 3'ten fazla boyutlu reel vektör uzaylarına, karmaşık vektör uzaylarına, hatta bu ikisi dışındaki genel cisimlere genelleştirmek mümkündür. Hatta sonsuz boyutlu fonksiyon uzaylarında bile mantıklı bir ortogonalite tanımı mevcuttur.

Fazladan bir yapı olmadan vektör uzayları, lineer bağımsızlık kavramı ile paralelliği tanımlayabilse de ortogonalliği tanımlamaya yetmemektedir. Bunun için sözkonusu vektör uzayı üzerinde bir de bilineer form, yani iki vektör alıp bir skaler veren ve iki girdisinde de lineer olan bir fonksiyon tanımlanmalıdır. Bu makale boyunca söz konusu vektör uzayımız $V$, skalerlerin ait olduğu cisim $\mathbb {K}$ (mesela bu cisim $\mathbb {R}$ veya $\mathbb {Q}$ olabilir) ve bilineer formumuz da $B$ olsun. O zaman iki $v,u\in V$ vektörü, ancak ve ancak $B(v,u)=0$ olduğunda birbirine ortogonal kabul edilir, ve bu durum $v\perp u$ ile gösterilir. Bu kavramın sağduyulu olabilmesi için $v\perp u$ olduğunda $u\perp v$ de doğru olmalıdır. Bu özelliği sağlayan bilineer formlara dönüşlü denir, ve $\mathrm {char} (\mathbb {K} )\neq 2$ olduğu sürece -ki bu $\mathbb {R}$, $\mathbb {Q}$ ve $\mathbb {C}$ dâhil çoğu cisimde sağlanır- bunu sadece simetrik ve antisimetrik bilineer formlar sağlar.

Üstünde dejenere olmayan ve simetrik bir bilineer formun tanımlı olan vektör uzaylarına sözde öklid uzayı, ve antisimetrik bir bilineer formun tanımlı olduğu bir vektör uzayına da simplektik vektör uzayı denir. Eğer $B$ aynı zamanda pozitif belirliyse, yani sıfır hariç her $v\in V$ için $B(v,v)>0$ oluyodrsa $V$'ye öklid uzayı denir.

Pozitif belirli olmayan simetrik bilineer formlar için bazen sıfır olmayan vektörler için $B(v,v)=0$ olabilir. Bu tarz vektörlere izotrop, ve izotrop olmayan vektörlere anizotrop denir.

Ortogonal kümeler ve uzaylar

$M_{1},M_{2}\subseteq V$, $V$'nin iki altkümesi olsun. $M_{1}$'deki her vektör, $M_{2}$'deki her vektöre dikse bu iki kümeye ortogonal iki küme denir. Böyle kümeler, $\mathbb {R} ^{2}$ ve $\mathbb {R} ^{3}$'teki geometrik şekilleri temsil edebildiğinden bu kavram, dikliği keyfî geometrik şekillere de genelleştirmektedir. Eğer $M_{1}$ ve $M_{2}$ yerine iki altuzay $U_{1},U_{2}\leq V$ alırsak, bu sefer de altuzayların ortogonalitesinden söz etmek mümkündür. Altuzaylar, 2 ve 3 boyutlu öklid geometrisindeki doğrulara ve düzlemlere tekabül ettiğinden, bu kavram öklid geometrisindeki dik doğru kavramını genişletmektedir.

$U\subseteq V$ bir altküme olsun. O zaman $U$'daki tüm vektörlere ortogonal olan vektörler kümesi $U^{\perp }$ ile gösterilir ve $U$'nun ortogonal tamlayanı diye anılır.$U^{\perp }$ her zaman bir altuzaydır. Eğer $U=V$ ise $V^{\perp }$'ne $V$'nin radikali denir. Eğer $V^{\perp }$'nde $\mathbf {0}$ hariç vektörler varsa, bazı vektörler sıfırdan farklı olmasına rağmen her vektörle çarpılınca 0 veriyor demektir. Bu durumda $B$'ye dejenere denir. $U$ bir altuzaysa ve $B$ dejenere değilse ortogonal tümleyen için bir nevi boyut formülü geçerli olur: $$\dim(U)+\dim(U^{\perp })=\dim(V)$$Bir alt uzaydaki hiçbir vektör izotrop değilse bu altuzaya tamamen anizotrop denir, ve her vektör birbirine ortogonalse tamamen izotrop denir. $\mathrm {char} (\mathbb {K} )\neq 2$ ise ve $B$ simetrikse tamamen izotrop demek, her vektörün izotrop olmasıyla eşdeğerdir.