Bilineer fonksiyon

Bilineer dönüşümler, matematikte iki vektör uzayından birer eleman alıp üçüncü bir vektör uzayından bir eleman veren ve bunu yaparken her iki girdi için de doğrusallık aksiyomlarına uyan fonksiyonlardır.

Tanım

$V_{1},V_{2}$ ve $W$ aynı $\mathbb {K}$ cismi üzerinde tanımlı üç vektör uzayı olsun. O zaman bir $B:V_{1}\times V_{2}\mapsto W$ fonksiyonunun bilineer olması için her $v\in V_{2}$ için $$x\mapsto B(x,v)$$eşlemesinin ve her $v\in V_{1}$ için de $$x\mapsto B(v,x)$$eşlemesinin ayrı ayrı doğrusal olması gerekir. Diğer bir değişle, bir bilineer eşlemenin iki girdisinden birisini sabitlemek, her zaman bir lineer dönüşüm verir.

Bu tanımla şu özellikler geçerli olur:

• Her $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}$ ve her $\lambda \in \mathbb {K}$ için $\lambda$'yı $B$'nin dışına çekmek mümkündür, yani $B(\lambda v_{1},v_{2})=\lambda B(v_{1},v_{2})=B(v_{1},\lambda v_{2})$
• Her $x_{1},x_{2}\in V_{1},v\in V_{2}$ için $B$ dağılma özelliğini gösterir, yani $B(x_{1}+x_{2},v)=B(x_{1},v)+B(x_{2},v)$. Aynı özellik ikinci girdi için de geçerlidir, yani her $v\in V_{1},x_{1},x_{2}\in V_{2}$ için $B(v,x_{1}+x_{2})=B(v,x_{1})+B(v,x_{2})$ geçerlidir.

Eğer $V_{1}$ ve $V_{2}$ aynı $V$ vektör uzayıysa ve aynı zamanda her $v,w\in V$ için $B(v,w)=B(w,v)$ geçerliyse $B$'ye simetrik denir. Eğer hedef $W$ vektör uzayı $\mathbb {K}$ cismiyse de $B$'ye bir bilineer form denir. Mesela nokta çarpımı simetrik bir bilineer formdur.

Özellikler

Doğrusallığın gereği olarak eğer $v_{1}$ veya $v_{2}$ vektörlerinden birisi $\mathbf {0}$ vektörüyse $B(v_{1},v_{2})=\mathbf {0}$ olur. Tam tersi geçerli değildir; $v_{1}$ ve $v_{2}$ vektörlerinin ikisi de sıfırdan farklı olsa da $B(v_{1},v_{2})=\mathbf {0}$ olabilir. $B(v_{1},v_{2})=\mathbf {0}$ özelliğini sağlayan iki vektöre ortogonal denir.

$V_{1}$ ve $V_{2}$ vektör uzaylarından $W$'ye olan tüm bilineer formlar, kendi aralarında bir vektör uzayı teşkil eder ve bu uzay $\mathrm {Bil} (V_{1},V_{2},W)$ ile gösterilir. Bu eğer $V_{1},V_{2}$ ve $W$'un üçü de sonlu boyutluysa, $\mathrm {Bil} (V_{1},V_{2},W)$'in boyutu bu üç vektör uzayının boyutlarının çarpımına eşittir.

Örnekler

• Matris çarpımı, $\mathbb {K} ^{k\times m}\times \mathbb {K} ^{m\times n}$ ile $\mathbb {K} ^{k\times n}$ arasında bilineerdir
• Vektör iç çarpımı bilineer bir dönüşümdür. Girdileri aynı $V$ vektör uzayından olup çıktısı $\mathbb {K}$'dadır.
• $V$ ile $V$'nin düal uzayı $V^{*}$'dan iki eleman alıp $\mathbb {K}$'dan bir eleman veren $f,v\mapsto f(v)$ hesaplama operasyonu bilineerdir.
• Haç çarpımı, $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R} ^{3}$ arasında bilineer bir eşleme teşkil eder.

Ayrıca bakınız

• Çokludoğrusal harita

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Bilinear mapping", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104