Lineer dönüşüm

Matematikte ve lineer cebirde doğrusal dönüşüm veya lineer dönüşüm, iki vektör uzayı arasında vektör uzaylarının yapısını koruyan fonksiyonlara denir. $\phi :V\mapsto W$, aynı $\mathbb {K}$ cismi (meselâ $\mathbb {R}$ veya $\mathbb {C}$) üzerinde tanımlı iki vektör uzayı arasında bir fonksiyonsa ve bazı özellikleri sağlayarak vektör uzaylarının işlemlerini koruyorsa, $\phi$'ye lineer bir dönüşüm denir.

Aynı zamanda $\phi$ birebir ve örtense (yani bijektifse) $\phi$'ye bir izomorfizma denir. Eğer $V=W$ ise, yani $\phi$'nin başlangıç ve hedef uzayı aynıysa $\phi$'ye bir endomorfizma denir. $\phi$ hem bir izomorfizma, hem de bir endomorfizma ise de $\phi$'ye bir otomorfizma denir.

Lineer dönüşümler vektör uzayı yapısını koruduğundan, her altuzayı yine bir altuzaya gönderir. Bir taban seçimiyle sonlu boyutlu vektör uzaylarında her lineer dönüşüm için bir matris temsili bulmak mümkündür.

Tanımı ve temel sonuçları

$V$ ve $W$, iki $\mathbb {K}$ vektör uzayı, $\phi :V\mapsto W$ de bir fonksiyon olsun. O zaman $\phi$ şu iki özelliği sağladığında $\phi$'ye lineer dönüşüm denir:

• Homojenlik: Her $\lambda \in \mathbb {K}$ ve $\mathbf {v} \in V$ için $$\phi (\lambda \mathbf {v} )=\lambda \phi (\mathbf {v} )$$
• Toplamsallık: Her $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ için$$\phi (\mathbf {v} +\mathbf {u} )=\phi (\mathbf {v} )+\phi (\mathbf {u} )$$

Diğer bir değişle $\phi$ vektör uzayının işlemlerini korumaktadır, $\phi$'yi işlem yapmadan önce veya sonra uygulamak sonucu değiştirmez. Bu özellikler, daha genel olarak her $\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{k}\in \mathbb {K}$ skalerleri ve $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},...\mathbf {v} _{k}\in V$ vektörleri için$$\phi (\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\mathbf {v} _{j})=\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\phi (\mathbf {v} _{j})$$şeklinde de ifade edilebilir. Yani lineer bir dönüşüm, lineer kombinasyonları korumaktadır.

$\lambda$ yerine $0$ koyarak aynı zamanda $$\phi (\mathbf {0} _{V})=\phi (0\cdot \mathbf {0} _{V})=0\cdot \phi (\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}$$ olduğunu da görebiliriz, yani her lineer dönüşüm sıfır vektörünü sıfır vektörüne gönderir.

Hedef uzayı $W$, $\mathbb {K}$ cisminin kendisiyse $\phi$'ye bir lineer fonksiyonel denir.

Örnekler

• En basit örneklerden biri, $f(x)=cx$ şeklinde tanımlanan $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ fonksiyonudur.
• Her vektörü sıfıra götüren, sıfır fonksiyonu denen $f(\mathbf {v} )=\mathbf {0}$ fonksiyonu da her vektör uzayında lineer olan bir fonksiyon örneğidir.
• Her vektörü kendisine götüren, birim fonksiyon denen $f(\mathbf {v} )=\mathbf {v}$ fonksiyonu da lineerdir
• Reel sayılarda $f(x)=x^{2}$ şeklinde tanımlanan fonksiyon lineer değildir, malum $f(2\cdot 2)=f(4)=16\neq 8=2\cdot 4=2\cdot f(2)$ olmaktadır.
• Reel sayılarda $f(x)=x+1$ şeklinde tanımlanan fonksiyon lineer değildir, ancak afindir.
• $A$, $n\times m$'lik bir reel matris ise $A$, $\mathbb {R} ^{n}$ ve $\mathbb {R} ^{m}$ arasında $\mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x}$ şeklinde bir lineer dönüşüm tanımlar.
• Türev, toplam ve çarpım kuralları sayesinde $${\frac {d}{dx}}(af+bg)=a{\frac {d}{dx}}f+b{\frac {d}{dx}}g$$özelliğini sağlar ve bu yüzden türev de bir lineer dönüşüm örneğidir. Burada başlangıç kümesi mesela ${\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} )$ sürekli türevlenebilir fonksiyonların vektör uzayı olabilirken hedef küresi de mesela ${\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} )$ sürekli fonksiyonlar vektör uzayı olabilir.
• Belirli bir $[a,b]$ aralığında alınan integral işlemi, ${\mathcal {R}}([a,b])$ integral alınabilen fonksiyonlar vektör uzayı ile reel sayılar arasında lineer bir dönüşüm teşkil eder, çünkü her $f,g\in {\mathcal {R}}([a,b])$ ve $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ için$$\int _{a}^{b}(\lambda f(x)+\mu g(x))dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)dx+\mu \int _{a}^{b}g(x)dx$$ilişkisi geçerlidir.
• Sabit bir nokta belirlendikten sonra alınan belirsiz integral işlemi, ${\mathcal {R}}(\mathbb {R} )$ entegre edelibelir fonksiyonlar vektör uzayı üzerinde lineer bir dönüşüm tanımlar. Sabit bir nokta seçilmeden de entegre edilebilir fonksiyonlar uzayından, tüm fonksiyonların sabit fonksiyonlar uzayıyla bölüm uzayı arasında bir lineer dönüşüm teşkil eder.
• Rasgele bir değişkenin beklentisini bulma işlemi de lineerdir, çünkü $E[\alpha X+\beta Y]=\alpha E[X]+\beta E[Y]$ ilişkisi geçerlidir. Buna mukabil Standart sapma işlemi lineer değildir.

Ayrıca bakınız

• Afin dönüşümler
• Sürekli doğrusal operatör