Devrik matris

Matematiğin bir alt dalı olan doğrusal cebirde, bir $A$ matrisinin devriği ya da transpozu bu matrisin satırları ile sütunları karşılıklı yer değiştirilmesiyle elde edilen matrise denilir. Devriği alınmış bir matrise devrik matris denilir. Bir $A$ matrisinin devriği genellikle transpoz karşılığından hareketle $A^{t}$ şeklinde ifade edilir; ancak, kullanılan diğer gösterimler arasında $A^{'}$, $A^{tr}$ ve $A^{T}$ de vardır. Bir matrisin devriği aşağıdaki biçimlerde elde edilebilir:

• $A$ matrisinin ana köşegene göre yansıması alınarak $A^{t}$ elde edilir,
• $A$ matrisinin satırları $A^{t}$ matrisinin sütünları olarak yazılarak elde edilir,
• $A$ matrisinin sütünları $A^{t}$ matrisinin satırları olarak yazılarak elde edilir.

$A^{t}$ matrisinin $(i,j)$ ögesi $A$ matrisinin $(j,i)$ ile gösterilen ögesine eşittir:

$[A^{T}]_{ij}=[A]_{ji}$

Eğer $A$ matrisi $m\times n$ bir matris ise $A^{t}$ matrisi $b\times m$ bir matristir. Bir sayılın (skaler) devriği yine o sayıldır.

Örnekler

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;$

Özellikler

$A$, $B$ matrisleri ve $c$ sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. $(A^{T})^{T}=A\quad \,$

   Bir matrisin devriğinin devriği kendisidir.

2. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\,$

   Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.

3. $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}\,$

   Matris çarpımının devriği yukardaki gibidir; matrislerin çarpımının sırası değişir ve iki matrisin de devriği alınır. Matris çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.

4. $(cA)^{T}=cA^{T}\,$

   Sayıl ile matris çarpımının devriği alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve matrisin devriği alınır. Sayılın devriği kendisine eşittir ve matris ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.

5. $\det(A^{T})=\det(A)\,$

   Kare bir matris için matrisin determinantı ile o matrisin devriğinin determinantı aynıdır.

6. İki $a$ ve $b$ vektörünün, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

   $a\cdot b=a^{T}b$

   Bu çarpımda $a_{i}b^{i}$ şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada $i$ alt imi ve $i$ üst iminin aynı olması $i$ üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
7. $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\,$

   Tersi alınabilir bir matrisin devriğinin de tersi alınabilir. Yukarıdaki $A$ matrisinin devriğinin tersi ile tersinin devriği birbirine eşittir. Herhangi bir matrisin tersinin devriğinin tersi kendisine eşittir. $A^{-T}$şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.

8. Eğer $A$ kare bir matris ise bu matrisin özdeğerleri ile devriklerinin özdeğerleri birbirine eşittir.