Pappus'un alan teoremi

koyu gri alan = açık gri alan

Pappus'un alan teoremi, verilen herhangi bir üçgenin üç kenarına yaslanmış üç paralelkenarın alanları arasındaki ilişkiyi tanımlar. Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilecek teorem, adını onu keşfeden Yunan matematikçi İskenderiyeli Pappus'tan (MS 4. yüzyıl) almıştır.

Teorem

İki kenarına rastgele iki paralelkenar yaslanmış verilen herhangi bir üçgen için teorem, üçüncü paralelkenarın alanı diğer iki paralelkenarın alanlarının toplamına eşit olacak şekilde üçüncü kenar üzerinde bir paralelkenarın nasıl oluşturulacağını ifade etmektedir.

$ABC$ verilen herhangi bir üçgen ve $ABDE$ ve $ACFG$, verilen üçgenin $AB$ ve $AC$ kenarlarına iliştirilmiş iki rastgele paralelkenar olsun. Uzatılan paralelkenar kenarları $DE$ ve $FG$, $H$ noktasında kesişir. $AH$ doğrusu şimdi $BC$ üçgen kenarına yaslanmış üçüncü paralelkenar $BCML$'nin kenarı olur, yani $BL$ ve $CM$ çizgi parçaları, $BC$ üzerinde ve $BL$ ve $CM$ $AH$'ye paralel ve eşit uzunlukta olacak şekilde oluşturulur. Paralelkenarların alanları (A ile gösterilir) için aşağıdaki özdeşlik geçerlidir:

${\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}$

Teorem, Pisagor teoremini iki yönlü olarak genelleştirir. Birincisi, sadece dik açılı olanlar için değil, gelişigüzel üçgenler için de geçerlidir ve ikincisi, kareler yerine paralelkenarlar kullanır. Rastgele bir üçgenin iki kenarındaki kareler için, üçüncü kenar üzerinde eşit alanlı bir paralelkenar oluşturur. İki kenar dik açılı dik kenarlar ise, üçüncü kenarındaki paralelkenar da kare olacaktır. Dik açılı bir üçgen için, dik açının kenarlarına yaslanmış iki paralelkenar üçüncü kenarda eşit alana sahip bir dikdörtgen oluşturur ve yine iki paralelkenar kare ise üçüncü kenardaki dikdörtgen de bir kare olur.

İspat

Aynı taban uzunluğuna ve yüksekliğine sahip olması nedeniyle $ABDE$ ve $ABUH$ paralelkenarları aynı alana sahiptir, aynı argüman $ACFG$ ve $ACVH$, $ABUH$ ve $BLQR$, $ACVH$ ve $RCMQ$ paralelkenarları için geçerlidir. Bu, halihazırda sahip olduğumuz gibi istenen sonucu verir:

${\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLRQ}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}$

Kaynakça

• Howard Eves: Pappus's Extension of the Pythagorean Theorem.The Mathematics Teacher, Vol. 51, No. 7 (Kasım 1958), ss. 544–546 (JSTOR 22 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
• Howard Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650). Mathematical Association of America, 1983, 9780883853108, s. 37 (Google Kitaplar'da alıntı, s. 37,)
• Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press, 2007, 9780691125268, ss. 58–59 (Google Kitaplar'da alıntı, s. 58,)
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, 9780883853481, ss. 77–78 (Google Kitaplar'da alıntı, s. 77,)

Dış bağlantılar

• The Pappus Area Theorem 22 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Pappus theorem 25 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.